Главная страница сайта
Российские промышленные издания (узловые агрегаты)
1 ...
14 15 16 [
17 ]
18 19 20 ...
27 
Водонепронииземая почва
Фиг. 15.7. Фильтрация под плотиной в сильно неоднородном н искривленном
основании.
ным ускорением и с малой амплитудой перемещения, то можно показать [12], что избыточное давление удовлетворяет уравнению Лапласа
V2p - 0.
На движущихся (или неподвижных) границах граничное условие типа б [см. (15.3)] принимает внд
-- = -ра., (15.27)
где р - плотность жидкости и а„ - нормальная компонента ускорения границы. На свободных поверхностях краевое условие записывается как
р = 0. (15.28)
Таким образом, совершенно ясно, что задача принадлежит к категории задач, уже рассмотренных в этой главе.
В качестве примера рассмотрим движение вертикальной стенки резервуара (фиг. 15.9) и найдем распределение давления на стенке и дне резервуара прн произвольном законе движения граничных точек 1-7. Область была разбита на 42 четырех-
Фнг. 15.8. Установившееся распределение температур в осесимметричном сосуде высокого давления.
стенч<а
Раз5иение на элементы Фиг. 15,9, Задачат) горизонтальном движении стеики в резервуаре.
угольных элемента. Для того чтобы результаты можно было применить для любых ускорений, решены семь задач. В каждой из них на части границы, примыкающей к рассматриваемой точке, задано единичное ускорение, что дает в точках 1-7 нагрузки pV2b, pi, .. , р^-, р'/2/-. Давления в точках 1-56 при произвольном профиле ускорений можно представить в виде матрицы, зависящей от ускорений точек 1-7. Таким образом.
Pi Рн
Р35 Pi2
(Pse
= [М]
Г Л
(15.29)
Матрица М имеет вид, показанный в табл. 15.1.
Таблица 15.1
н
| | | | | | | |
| | 0,7249 | 0,3685 | 0,2466 | 0,1963 | 0,1743 | 0,0840 |
| | 0,3685 | 0,9715 | 0,5648 | 0,4210 | 0,3644 | 0,1744 |
| | 0,2466 | 0.5648 | 1,1459 | 0,7329 | 0,5954 | 0,2804 |
| | 0,1963 | 0,4210 | 0,7329 | 1,3203 | 0,9292 | 0,4210 |
| | 0,1744 | 0,3644 | 0,5954 | 0,9292 | 1,5669 | 0,6489 |
| | 0,1680 | 0,3488 | 0,5607 | 0,8420 | 1,2977 | 1,1459 |
| | |
| | 0,1617 | 0,3332 | 0,5260 | 0,7548 | 1,0285 | 0,6429 |
| | 0,1365 | 0,2754 | 0,4171 | 0,5573 | 0,6793 | 0,3710. |
| | 0,0879 | 0,1731 | 0,2519 | 0,3187 | 0,3657 | 0,1918 |
| | 0,0431 | 0,0838 | 0,1195 | 0,1478 | 0,1661 | 0,0863 |
| | 0,0186 | 0,0359 | 0,0150 | 0,0626 | 0,0699 | 0,0362 |
| | 0,0078 | 0,0150 | 0,0213 | 0,0261 | 0,0291 | 0,0151 |
| | 0,0069 | 0,0134 | 0,0190 | 0,0232 | 0,0259 | 0)134 |
(Z. = /6)
Следовательно, можно найти давление при любом распределении ускорений. Например, если ускорение а постоянно, то
давление можно вычислить, принимая
1 Л
= а
(15.30)
Распределение давления на стенке и дне резервуара показано на фиг. 15.10. Значения полученных давлений на стенке
измеияющбеея ускорение
Фиг. 15.10. Распределение давления на движущейся стенке и дне резервуара.
отличаются от хорошо известного точного решения Вестергаар-да не более чем на 1%.
Аналогично можно получить распределение давления при любом другом законе движения стенки. Например, если стенка шарнирно соединена с основанием и совершает колебания вокруг точки закрепления так, что ускорение верхней точки (точка 1) равно а, то
(15.31)
Распределение давления, полученное с помощью выражения (15.29), показано на фиг, 15.10,
При решении задачи о колебаниях очень важно иметь такую матрицу влияния. Если стенка колеблется, то в общем случае ее ускорения неизвестны. Используя верхнюю часть матрицы [М] в соотношении (15.29), которую обозначим через [Mq], давления в точках 1-7 можно записать в виде
= [Мо] {б}.
(15.32)
Этим давлениям соответствуют следующие узловые силы:
- [М,т, (15.33)
где [Л]-матрица, характеризующая нагрузки, а {б| -матрица, определяющая ускорения узловых точек стенки. Это уравнение может быть добавлено к динамическим уравнениям движения стенки. Эта и родственные ей задачи будут подробно рассмотрены в гл. 16.
На фиг. 15.11 показаны результаты расчета аналогичной трехмерной задачи [4]. Использовались простые тетраэдральные элементы. Точность полученных результатов достаточно высока.
Задачи электростатики. На фиг. 15.12 приведено решение трехмерного уравнения Лапласа 4]. В данном случае оно моделирует электростатическое поле около изолятора. На фиг. 15.13 представлены результаты решения более сложной двумерной задачи о распределении магнитного поля [6].
Безвихревое течение жидкости со свободной поверхностььо [13-19]. Уравнение Лапласа, описывающее течение вязкой жидкости в задачах фильтрации, справедливо также для безвихревого течения жидкости за пределами пограничного слоя, обусловленного вязкостью. Приведенные ранее примеры применения метода можно использовать и для иллюстрации таких задач. Другие примеры рассмотрены в работе Мартина [14]. Заслуживают внимания задачи о течении жидкости с априори неизвестной свободной поверхностью.
Для этого класса задач типичны два примера - задача о струйном водосливе (фиг. 15.14, а) и задача о фильтрации через земляную плотину (фиг. 15.14,6). В обоих случаях свободная граница представляет собой линию тока; она априори неизвестна и должна быть определена таким образом, чтобы на ней удовлетворялось некоторое дополнительное условие. Если, на-
Непроницаемая поверссносшь
Непроницаемая поверхность
Типичный элемент объема
На этой noeegxHoc-ши зэдано у
ff =0
а^рдН
Фиг. 15.11. Давление на ускоряющейся поверхности перемычки в несжимаемом
потоке.
--решение, полученное методом конечных элементов;---решение, изйдснаое
с использованием электролитической ванны, и, -изЗыточиое давление; в'-отиоснтелйяое ускорение; р -плотности.
Фиг. 15.12. Трехмерное распределение электростатического потенциала около фарфорового изолятора.
пример, вторая задача сформулирована через потенциал Н, то определяющим является уравнение (15.25).
Так как свободная граница представляет собой линию тока, то на ней должно выполняться условие
= 0.
(15.34)
Кроме того, поскольку эта граница связана с атмосферой, давление иа ней должно быть равно нулю. Так как
(15.35)
где Y -удельный вес жидкости, /7 -давление и г/-расстояние от некоторого горизонтального уровня, на свободной поверхности должно выполняться условие
(15.36)
Фиг. 15.13. Поле магнита (по Внислоу [6]) -р = 0
-р = 0
Фиг. 15.14. Типичные задачи со свободной границей (линией тока, на которой давление равно нулю). -струйный водослив; 6 -фильтрация через земляную длотии).
Решение задачи можно получить итерационным методом. Полагая свободную поверхность известной, решаем стационарную задачу. Далее производим проверку, удовлетворяется ли условие (15.36), и если нет, то из условия равенства Н только что найденному значению у находим новую поверхность. Несколько таких итераций показывают, что сходимость достаточно быстрая. Этот метод использовался Тэйлором и Брауном [19]. Другой возможный метод решения описан в гл-. 16.
Задачи теории смазки. Расчет вкладыша подшипника сводится к решению двумерной задачи, которая описывается уравнением Пуассона, В случае, когда плотность и вязкость смазочного вещества постоянны, должно быть решено уравнение Рейнольдса [20]
где А -толщина пленки, /7 - возникающее давление, ц - вязкость и I -скорость движения вкладыша в направлении х. На фнг. 15.15 показано распределение давления во вклады-
\ /uA/<-u/AlZ-
h = 16мм 16мм
Фнг. 15,15, Вкладыш с уступом. Распределение давления. Линии уровней
ше ступенчатого подшипника [21]. В качестве краевого условия используется условие равенства давления нулю. Интересно заметить, что благодаря наличию уступа вкладыша при интегрировании правой части уравнения (15.37) появляется условно эквивалентная нагрузка, распределенная по лиции.
Ясно, что можно рассмотреть и более общие случаи задач о смазке с учетом вертикального движения вкладыша (уплотнение пленки) и сжимаемости. Этому вопросу посвящено много недавно опубликованных работ [22-24],
Число различных задач, относящихся к рассмотренному классу, настолько велико, что рассмотреть нх все практически невозможно.
15.6. Задачи, описываемые бигармоиическим уравнением. Вязкое течение
До сих пор прн решении квазигармонических задач минимизируемый функционал рассматривался как формальное математическое выражение, и не делалось никаких попыток определить его физический смысл. В частном случае вязкого течения жидкости в пористой среде нетрудно установить, что он представляет собой скорость диссипации энергии. Распределение скоростей, получаемое в результате решения, минимизирует эту диссипацию, как и следует ожидать из универсального принципа минимума действия. Для задач о фильтрации эта интерпретация была установлена Зенкевичем и др. [3]. Принцип минимума энергии диссипации известен в механике жидкости с конца прошлого века, и поэтому интересно рассмотреть его применение к решению задач о вязком течении.
В гл. 3 в качестве примера применения метода взвешенных невязок рассматривалось уравнение Навье - Стокса без инерционных членов. Это уравнение справедливо для медленного течения жидкости. Дифференциальное уравнение (3.48) было получено для двумерного течения. Это дифференциальное уравнение можно было бы получить непосредственно путем минимизации методом Эйлера функционала, представляющего собой скорость диссипации энергии.
1СЛН компоненты скорости в направлениях х v. у обозначить через и и f и выразить нх через функцию тока ф как
дФ ду
дх
(15.38)
то легко показать, что при постоянном значении вязкости р. функционал будет иметь вид [7]
d4f д'Ф дЧ дх ду
dV. (15.39)
Его можно минимизировать точно так же, как это делалось ранее в этой и предыдущей главах, после представления функции 0 через узловые параметры элементов. Поскольку функцио-
нал квцдратичный, в результате мнннмнзацни получаются стандартные жесткостные соотношения.
Так как в него входят вторые производные, на границах между элементами требуется обеспечить непрерывность функции ф н ее нормальных производных. Узловые параметры удобно представить в внде
{60 =
(15.40)
а в качестве функций формы использовать те же самые функции, которые применялись в задачах гл. 10 об изгибе пластин.
Такой подход Аткннсон и др. [7] применили для исследования распределения скоростей в начальной области потока между параллельными плоскостями. Граничные условия и форма исследованной области показаны на фнг. 15.16, а, а на фиг. 15.16,6 представлены полученные профили скоростей, которые хорошо согласуются с результатами эксперимента. Ясно, что эта же программа пригодна н для исследования областей с границами любой другой формы.
Интересно отметить, что прн решении использовался описанный в гл. 10 простой несогласованный треугольный элемент, который не удовлетворяет полному критерию непрерывности производной.
Этими же авторами получен функционал для осесимметричных задач н рассмотрены аналогичные задачи о течении жидкости в цилиндрических трубопроводах. Более подробно этот метод описан в работе [25].
15.7. Аналогии
Интересно отметить, что, поскольку уравнение, которому удовлетворяет фулкцня тока [гл. 3, уравнение (3.4)], совпадает с уравнением изгиба пластин (работа [1] нз списка литературы к гл. 10), для решения задач о вязком течении можно было бы непосредственно использовать любую программу расчета изгиба пластин. Такие аналогии в технике имеют большое значение, так как онн часто дают возможность сделать полезные обобщения с минимальными затратами сил.
Другим примером подобной аналогии может служить плоская задача теории упругости. Если выразить напряжения через известную функцию напряжений Эри [26]:
Ох - gyi О у - Qji > ху - дхду
(15.41)
и = 1
Y = 0
и = 211-/I Y = й
Фиг. 15.16. Скорость вязкого ламинарного течения между параллельными плоскостями. Решение методом конечных элементов [7]. а - геометрия; б - профили скоростей в различвых сечениях.
ТО МОЖНО показать, что эта функция будет удовлетворять бн-гармоинческому уравнению, описывающему вязкое течение жидкости и изгиб пластин. Поэтому с помощью программы расчета пластин можно решать плоские задачи теории упругости.
Если используется вариационный подход, то полученное решение, автоматически удовлетворяющее уравнениям равновесия, дает верхнюю границу энергии деформации, тогда как решение в перемещениях дает нижнюю границу.
С другой стороны, решение плоской задачи теории упругости в перемещениях можно использовать для получения верхних границ решений задач теории изгиба пластин. Эта возможность обнаружена и подробно олисана Вёбеке и Зенкевичем [8].
15.8. Заключительные замечания
В этой главе показаны лишь некоторые возможности использования метода конечных элементов в ряде задач физики и техники. Не вызывает сомнения, что в ближайшее время этот метод будет применен к решению и других задач.
ЛИТЕРАТУРА
И. 12.
13. 14.
15. 16. 17.
Zienkiewicz О. С, Cheung Y. К-, Finite Elements in the Solution of Field Problems, The Engineer, 507-510 (Sept. 1965).
Visser W., A Finiie Element Metliod for Ihe Determinalion of Non-Stationary Temperature Dislribution and Thermal Deformations, Proc. Conf. on Matrix Methods in Struct. JMech., Air Force Inst, of Techn., Wright Patterson A. F. Base, Ohio, 1965.
Zienkiewicz O. C, Mayer P., Cheung Y. K., Solution of Anisotropic Seepage Problems by Finite Elements, Proc. Amer. Soc. Civ. Eng. 92, EMI 111- 120 (1966).
Zienkiewicz O. C, Arlett P. L., Bahrani A. K., Solution of Three Dimensional Field Problems by the Finiie Element Method, The Engineer, 27 (Oct 1967).
Herrmann L., Elastic Torsion Analysis of Irregular Shapes, Proc. Am. Soc. Civ. Eng., 91, EM 6, 11-19 (1965).
Winslow A. M., Numerical Solution of the Quasi-Linear Poisson Equation in a Non-Uniform Triangle Mesh. J. Computational Phusics, 1, 149-172 (1966).
Alkinson В., Brocklebank M. P., Card C. C. M., Smith J. M., Low Reynolds Number Developing Flows, AIChEJ, 15, 548-553 (1969). De Veubeke B. F., Zienkiewicz O. C, Strain Energy Bounds in Finite Element Analysis by Slab Analogy, 1. Strain An., 2, 267-271 (1967). Berg P. N., .Calculus of Variations, Ch. 16, in: Handbook of Eng. Mechanics, Flugge N., ed., McGraw-Hill, 1962.
De G. Allen D. N., Relaxation Methods, McGraw-Hill, 1955, p. 199. Ely J. F., Zienkiewicz O. C, Torsion of Compound Bars - a Relaxation Solution, Int. 1. Mech. Sci., 1, 356-365 (1960).
Zienkiewicz O. C, Nath В., Earthquake Hydrodynamic Pressures on Arch Dams-an Electric Analogue Solution, Proc. Inst. Civ. Eng., 25, 165-176 (1963).
Westergaard H. M., Waler Pressure on Dams During Earthquakes, Trans. Am. Soc. Civ. Eng.. 98, 418-433 (1933).
Martin H. C, Finite Element Analysis of Fluid Flows, Proc. 2nd Conf. on Matrix Methods in SIruct. Mech., Air Force Inst, of Techn., Wright Patterson A. F. Base, Ohio, 1968.
Oden J. T. Samogyi D., Finite Element Applications in Fluid Dynamics, Proc. Am. Soc. Civ. Eng., 95, EM3 (1969).
Argyris J. H., Mareczek C, Scharpf D. W., Two and Three Dimensional Flow Using Finite Elements, /. Roy. Aero Soc, 73, 961-964 (1969). Doctors L. J., An Application of Finite Element Technique to Boundary Value Problems of Potential Fbw, Int. J. Num. Meth. Eng., 2, 243-252 (1970),
18. De Vrles G., Norrie D. H., Application of the Finite Element Technique to Potential Flow Problems, Rept. land 8., Dept. Mech. Eng. Univ. of Caagary, Alberta, Canada, 1969. , ,
19 Taylor R. L., Brown C. В., Darcy Flow Solutions with a Free Surface, Proc. Am. Soc Civ. Eng., 93, HY2, 25-33 (1967).
20. Gross W. A., Gas Film Lubrication, Wiley, 1962.
21. Tanesa D. V., Rao I. C, Student Project Report on Lubrication, Royal, Naval College, Dartmouth, 1966.
22. Reddi M. M., Finite Element Solution o! the Incompressible Lubrication Problem, Trans. Am. Soc. Mech. Eng.. 91, Series F, 524 (1969); есть русски!! перевод: Редди. Решение задачи о несжимаемой смазке методом конечных э.тементов Труды Американского общества инженеров-механиков, серия F, Проблемы трения и смазки, № 3, стр. 169 (1969).
23 Reddi М. М., Chu Т. У., Finiie Element Solulion of the Steady State Compressible Lubrication Problem, Trans. Am. Soc. Mech. Eng., 92, Series F, 495 (1970); есть русский перевод: Редди, Чу, О решении стационарных задач теории сжимаемой смазки методом конечных элементов. Труды Американского общества инженеров-механиков, серия F, Проблемы трения и смазки, № 3, стр. 124-132 (1970),
24 Argyris J Н Scharpf D. W The Incompressible Lubricalion Problem. Л Roy. Aero Soc, 73, 1044-1046 (1969).
25 Atkinson В., Card C. C. M., Irons B. M., Application of the Finite Element Method to Creeping Flow Problems, Trans. Inst. Chem. Engrs., 48, T276- T284 (1970).
26 Timoshenko S., Goodier J. N., Theory of Elasticity, 2nd ed., McGraw-Hill, 1951.
16.1. Введение
Во всех задачах, рассмотренных до сих пор в этой книге, предполагалось, что параметры не изменяются во времени. Распространение конечно-элементной концепции на задачи, параметры которых зависят от времени, не, представляет особых трудностей.
Область практических задач, в которых должна быть учтена зависимость от времени, достаточно обширна. Типичными примерами являются задачи нестационарной теплопроводности, распространеиня воли в жидкостях или газах и задачи динамического поведения конструкций. Несмотря на то что эти различные по характеру задачи обычно принято рассматривать раздельно, классифицируя их иногда по математической структуре как параболические или гиперболические [1], мы объединим их в один класс, чтобы показать тождественность постановки задач.
В первой части этой главы на основе простого обобщения методов, использованных ранее, мы запишем матричные дифференциальные уравнения, характеризующие указанные задачи, для различных физических ситуаций. При этом конечно-элементная дискретизация будет использована лишь для пространственных переменных. Далее будут рассмотрены различные методы решения, показывающие возможность непосредственного включения временного измерения в конечно-элементную дискретизацию.
16.2. Непосредственная дискретизация нестационарных задач
16.2.1. Квазигармоническое уравнение для нестационарных
задач
Во многих физических задачах квазигармоническое уравнение, подробно рассмотренное в предыдущей главе, содержит производные от неизвестной функции ф по времени. Для трех-
мерного случая мы имеем
(16.1)
Все коэффициенты этого уравнения, вообще говоря, являются заданными функциями времени:
K = kAt), Q = Q(t) и т, д.
В некоторый фиксированный момент времени производные от ф по времени и все коэффициенты могут рассматриваться как заданные функции координат. Для этого момента задача совершенно аналогична рассмотренной в предыдущей главе (разд. 15.2) при условии, что выражение в последней скобке уравнения (16.1) трактуется как величина Q уравнения (15.1).
Конечно-элементная дискретизация этого уравнения для пространственных переменных уже подробно обсуждалась, и при заданной для каждого элемента величине
= 1ЛГ(л;, у, гШУ
(16.2)
была получена обычная форма определяющего уравнения:
[H]W-f{F} = 0. (16.3)
Вклад каждого элемента в приведенные выше матрицы определяется соотношениями (15.12) и (15.13), которые здесь не приводятся, за исключением слагаемого нагрузки , обусловленного величиной Q. Уравнение (15.13) дает
PlQNidV, или {Fy = -\Q[NfdV.
Заменяя теперь Q последним слагаемым в уравнении (16.1), получаем
{Fy-\iNY{Q-V-?)dV. (16.4)
Однако из уравнения (16.2) видно, что ф аппроксимируется с помощью узловых параметров {фу. Подстановка этой аппрокси-
ПОСТАНОВКА НЕСТАЦИОНАРНЫХ И ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
мацин дает
{FY = - \ [Nf QdV+(\ [NYц [N\йУЛ^{фу +
+ (\ШГ(>]4У^-{ФУ. (16.5)
Записывая (16.3) в окончательной форме определяющих уравнений, получаем следующее матричное дифференциальное уравнение:
W] {ф} + [С] 4 {ф} + [G] {ф} + {F} = О, (16.6)
в котором все матрицы составляются по стандартному правилу из подматриц [hf и {F} для каждого элемента, заданных соотнощениями (15.12) н (15.13), н
cf,= \NinNidV. gt,= NtpNidV.
(16.7) (16.8)
Как видно нз приведенных выше соотношений, этн матрицы симметричны.
Граничные условия задаются в каждый момент времени, так же как в предыдущей главе.
Физических задач, описываемых уравнением (16.1), настолько много, что подробное нх обсуждение невозможно в рамках этой книги. Здесь будет приведено только несколько типичных примеров.
Прн р = 0 уравнение (16.1) является обычным уравнением нестационарной теплопроводности [1, 2], которое было рассмотрено некоторыми авторами с позиций конечных элементов [3-6]. Это же уравнение описывает н другие фнзнческне явления, например консолидацию грунта, связанную с разновидностями нестационарной фильтрации [8].
Прн [1 = 0 уравнение (16.1) превращается в известное волновое уравнение, описывающее обширную область физических явлений. Электромагнитные волны [9], поверхностные волны в жидкости [10] н волны расширения - сжатия [И] представляют собой лишь несколько явлений, к которым был применен метод конечных элементов.
При р =7 О и ц =7 О уравнение (16.1), будучи волновым уравнением с демпфированием, обладает широкой областью прнме-
нимостн и имеет важное значение для некоторых волновых явлений в механике жидкости и газа.
16.2.2. Динамическое поведение упругих конструкций с линейным демпфированием)
В предыдущем разделе была рассмотрена чисто математическая задача; рассуждение подобного рода может быть непосредственно применено к широкому классу задач о динамическом поведении упругих конструкций в точном соответствии с общими положениями гл. 2.
.Перемещения упругого тела во времени обусловлены налн-чнем двух систем дополнительных снл. Первую нз них составляют силы ннерцин, которые характеризуют ускорение (ЭЗД^{/} и, согласно хорошо известному принципу Даламбера, могут быть заменены нх статическим эквивалентом
д' is:-,
-p{f}-
(16.9)
(Здесь {/} является обобщенным перемещением, определенным в гл. 2.)
Эти силы совпадают по направлению с перемещениями {f\ н обычно отнесены к единице объема, ар - масса единицы объема.
Вторая система снл обусловлена сопротивлением движению (силы трення). Этн силы могут быть вызваны перемещением микроструктуры, сопротивлением воздуха н т. д.; в общем случае они связаны нелинейной зависимостью со скоростью перемещения d/dt{f].
Однако для простоты изложения будет учтено только линейное сопротивление вязкого типа, которое статически эквивалентно силе, отнесенной к единице объема
(16.10)
Здесь ц - некоторый коэффициент.
Эквивалентная статическая задача в. каждый момент времени дискретизнруется теперь в соответствии с изложенным в гл. 2, причем распределенная сила [р] заменяется эквивалентом
(16.11)
{p}-pii{f}-l{f}
) Для простоты мы рассмотрим только эффекты распределенных сил инерции и демпфирования; сосредоточенные массовые и демпфирующие силы получаются предельным переходом.
Узловые СИЛЫ элемента, заданные уравнением (2.11), принимают теперь вид
{Щ = - S {Р) dV = {Пр + \ [NV Р {f} dV + + \ lNfii{f}dV.
(16.12)
Здесь первый член совпадает с силой, обусловленной виешией распределенной нагрузкой (см. гл. 2), и поэтому не будет далее рассматриваться.
Аппроксимация перемещений дается соотнощением (2.1):
{п=тт.
Подставив выражение (16.12) в общее уравнение равновесия, окончательно получим следующее матричное дифференциальное уравнение:
[1 {(>] + [С]-- {6} + [М] {6} + {F} = 0, (16.13)
где [/(] и {F} - матрицы жесткости и сил ансамбля, полученные обычным суммированием коэффициентов жесткости и сил элементов, вызванных заданными виещними нагрузками, начальными напряжениями и т. д. Новые матрицы [С] и [Щ составляются по обычному правилу из подматриц элементов, задаваемых в виде
[ciiY= \ lNtr\i[Ni]dV (16.14)
и
lmt!Y=\[NtYp[N,]dV. (16.15)
Матрица [m-ij] известна как матрица масс элемента, а матрица ансамбля [М]-как матрица масс системы.
Интересно заметить, что в ранних попытках исследования динамических задач такого типа масса элементов обычно предполагалась произвольно сконцентрированной в узлах, что приводило всегда к диагональной матрице, даже если не существовало сосредоточенных масс. Тот факт, что подобная процедура в действительности не нужна и приводит к плохой аппроксимации, был установлен в 1963 г. Арчером [12] и независимо от него Лекки и Линдбергом [13]. Общее выражение (16.15) получено Зенкевичем и Ченгом [14]. Для матрицы распределенных масс элемента был введен термин согласованная матрица масс ; эта матрица является единственно допустимой матрицей, используемой при расчете,
Матрицы [Cij] и [С] по аналогии могут быть названы согла-сованньши матрицами демпфирования.
Следует отметить, что иногда для описания сил инерции нужно использовать функции формы, отличные от функций, задающих перемещения {f}. Например, в задачах о пластинах и балках (гл. 10) полное деформированное состояние было задано с помощью только поперечного перемещения w, так как были введены дополнительные гипотезы об изгибе пластины. Однако при учете сил инерции следует рассматривать не только силу инерции поперечного перемещения
д'ш
(где р представляет собой массу, отнесенную к единице площади пластины), но н моменты сил инерции типа pt д'
?2 Гдт\ 1(2 { дх )
И т. д.
12 dt
Теперь перемещение {f} необходимо записать в более общем виде:
{f} =
=1мтг,
где [Щ непосредственно следует из определения матрицы [N], которая задается только компонентой w. Соотиощения, подобные уравнению (16.14), по-прежнему справедливы, если только заменить [Л^ на Щ и подставить вместо р матрицу
О О
О
О
12
Однако подобный подход применяется редко.
16.2.3. Матрицы масс и демпфирования некоторых типичных элементов
Представить в явном виде все матрицы масс различных элементов, исследованных в предыдущих главах, практически невозможно, и здесь будут рассмотрены лишь некоторые частные примеры.
1 ...
14 15 16 [
17 ]
18 19 20 ...
27
