Главная страница сайта  Российские промышленные издания (узловые агрегаты) 

1 ... 13 14 15 [ 16 ] 17 18 19 ... 27

и. четырьмя (2X2) гауссовыми точками, в виде графиков для различных отношений толщины к длине стороны пластины. Для оболочек средней толщины результаты близки между собой, и в обоих случаях получаются сдвиговые деформации, которые вообще не рассматриваются в теории тонких пластин. Для тонких пластин результаты прн более точном интегрировании значительно отличаются от точного решения, полученного с использованием теории тонких пластин, тогда как более грубое интегрирование (при исключении влияния сдвигов) по-прежнему дает хорошие результаты.

Ограничения на применение рассматриваемых в этой главе элементов хорошо известны, и неоднократно предпринимались попытки исключить их [5-7]. Как видно, весьма эффективным и достаточно общим средством является такой простейший прием, как понижение порядка интегрирования.

14.10. Некоторые примеры

Ниже приведено несколько примеров, иллюстрирующих область применения и точность описанного метода расчета толстых, оболочек. Другие примеры можно найти в работах [1-3].

Сферический купол под действием равномерно распределенного давления. На фиг. 14.8 показано известное точное решение этой осесимметричной задачи, полученное с использованием теории оболочек. Для решения применялись 24 элемента третьего порядка. Размеры элементов по мере приближения к краям уменьшались.

Полученное решение, по-видимому, даже более точное, чем аналитическое, поскольку оно позволяет учесть, приложено давление на внутренней или на наружной поверхности.

Цилиндр, нагруженный по торцам. Следующий пример осесимметричной задачи, показанный на фиг. 14.9, приведен для того, чтобы исследовать влияние числа разбиений. Использовалось 2, 6 и 14 элементов различной длины. Результаты для Двух последних разбиений почти совпадают с точным решением. Даже при использовании лишь двух элементов получаются удовлетворительные результаты, которые отличаются от тoчнoIo решения только в окрестности нагруженного края.

Цилиндрический свод. Это пример применения метода к расчету оболочки, для которой существенны изгибные эффекты, так как опоры препятствуют перемещению двух краев (фнг, 14.10).

На фиг. 14.11 приводится сравнение результатов численного интегрирования с использованием девяти и четырех точек для элементов второго порядка. В обоих случаях, как и следовало ожидать, решение сходится. При более точном интегрировании

т.О


Фиг. 14.8, Расчет сферического купола под действием равномерно распределенного давления при использовании 24 элементов третьего порядка. (Первый элемент у закрепленного края стягивает дугу в 0,Г, размеры остальных элементов увеличиваются по арифметической прогрессии.) Мф -меридиональный изгибающий момент, Г -окружное усилие, v=Ve.- аналитическое решение; О случай I; Д случай П.




IS.tlCM

5o a

О 0,5. КО 1,5 2,0- 2,5 3,0

2, см

281.0 i

т,о

-810

0,5:

1.5 Z, см

2,0.

3,0,

Фиг. 14.9. Тонкий цилиндр, нагруженный по краю единичной нагрузкой

в радиальном направлении, к-радиальное перемещение, JW -меридиональный момент, £=6,74 10 Н/м^ v= 0,3-

-теоретическое решение.

2,14

Опирэние на зкест-к1/ю див(рра£му

U = О

№ = 0


Свободный край


Фиг. 14.10. Цилиндрическая оболочка под действием собственного веса,

Е=4,55 10 Н/м% v=0, 17=9,6 Н/м'. -Число степеней свободы

Элементы

Сетка

второго

порядка

а

б

в

г



сходимость довольно медленная, в то время как при более низком порядке интегрирования очень точные результаты получаются даже прн использовании одного элемента. Приведенный пример иллюстрирует преимущества такого простого приема, как

(р, град

го 30 40


Фнг. 14.11. Перемещение цилиндрического перекрытия (элементы второго

порядка).

Элементы,

Интегрнрованне

Интегриро-

построенные

без учета

Сетка

вание

в работе [3]

по 2X2 точкам

□

Д

а

П

Д

д

в

О

О

г

о

понижение порядка интегрирования. Более подробно этот пример описан в работах [4, 8]. Обычным способом точное рещение этой задачи получено в работе [9].

Улучшенная сходимость по перемещениям в этом случае соответствует сходимости по напряжениям,

Градирия. Опять рассмотрим градирню, о которой уже шла речь в гл. И (разд. 11.6, фнг. 11.10). Прн расчете осесиммет-)ичная оболочка разбивалась на 15 элементов третьего порядка. Несимметричная (ветровая) нагрузка достаточно точно представлялась десятью гармониками. Результаты совпали с экспериментальными данными, с которыми сравнивались результаты, полученные в гл. 11, так что в дополнительных графиках нет необходимости.

Решение изложенным в этой главе методом значительно экономичнее решения методом, изложенным в гл. 11.

Криволинейная плотина. Все предыдущие примеры относились к тонким оболочкам и демонстрировали применимость метода к решению именно таких задач. В качестве примера другого типа этим методом была рассчитана плотина двойной кривизны, рассмотренная в гл. 9 (фиг. 9.8). Использовалось точно такое же разбиение, и результаты почти в точности совпали с результатами решения трехмерной задачи [3]. Такое хорошее совпадение получено при значительном сокращении числа степеней свободы и затрат машинного времени.

Очевидно, что область применения элементов такого типа очень широка.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ahmad S., Irons В. М., Zienkiewicz О. С, Curved Thick Shell andMembrane Elements with Particular Reference to Axi-Symmetric Problems, Proc. 2nd Conf. Matrix Mefh. Struct. Mech., WrisM Patterson A. F. Base, Ohio, 1968.

2. Ahmad S., Curved Finite Elements in the Analysis of Solid, Shell and Plate Structures, Ph. D. Thesis, Univ. of Wales, Swansea, 1969.

3. Ahmad S., Irons B. M., Zienkiewicz O. C, Analysis of Thick and Thin Shell Structures by Curved Elements, Int. J. Num. Meth. Eng., 2, 419-451 (1970).

4. Zienkiewicz O. C, Too J., Taylor R. L., Reduced Intergation Technique in General Analysis of Plates and Shells, Int. J. Num. Meth. Eng., 3, 275-290 (1971).

5. Key S. W., Beisinger Z. E., The Analysis of Thin Shells with Transverse Shear Strain by the Finite Element Method. Proc. 2nd Conf. Matrix Meth. Struct. Mech., Air Force Insf. Techn., Wright Patterson A. F. Base, Ohio, 1968.

6. Wempner G. A., Oden J. Т., Kross D. A., Finite Element Analysis of Thin Shells, Proc. Am. Soc. Civ. Eng., 94, EM6. 1273-1294 (1968).

7. Sfricklin J. A., Haisler W. E., Tisdale P. R., Ganderston R., A Rapidly Converging Triangular Plate Element, JAIAA, 7, 180-181 (1969); есть русский перевод: Стриклии, Хайслер, Тисденл, Гундерсон, Элемент в форме резко сужающейся треугольной пластины; Ракетная техника и космонавтика, № I, стр. 219 (1969).

8. Pawsley, Dept. of Structural Mechanics, Ph. D. Thesis, Univ. of California, Berkeley, 1970.

9. Scordelis A. C, Lo K. S., Computer Analysis of Cylindrical Shells, J. Am. Concr. Inst., 61, 539-561 (1969),



15.1. Введение

Хотя в предыдущих главах подробно рассматривались в основном задачи для упругой сплощной среды, описанный общий метод можно применить к решению самых разнообразных физических задач. В гл. 3 уже упоминалось о некоторых таких задачах, здесь же будет подробно рассмотрен один из широких классов подобных задач.

Остановимся сначала на задачах, описываемых квазигармоническим уравнением общего вида, частными случаями которого являются известные уравнения Лапласа и Пуассона [1-6]. Круг физических задач, описываемых этими уравнениями, весьма широк. В инженерной практике чаще всего встречаются задачи, в которых рассматриваются:

теплопроводность;

фильтрация сквозь пористую среду;

безвихревое течение идеальной жидкости;

распределение электрического (или магнитного) потенциала;

кручение призматических стержней;

изгиб призматических балок и др.;

смазка опорных поверхностей.

Соотношения, приведенные в этой главе, в равной степени применимы ко всем указанным задачам, поэтому реальные физические величины будут использоваться редко. Рассматриваются как изотропные, так и анизотропные тела.

В первой части главы обсуждаются двумерные задачи. Далее они обобщаются на трехмерные. При решении используются те же функции формы, что и для двумерных и трехмерных задач теории упругости. Основное отличие состоит в том, что теперь с каждой точкой пространства связана только одна неизвестная скалярная величина (неизвестная функция), тогда как раньше находили несколько неизвестных, составляющих вектор перемещения.

Дискретизация на конечные элементы достигается с помощью вариационного метода (см. гл. 3) с использованием функционала, математически эквивалентного дифференциальному уравнению. Этот функционал в приложениях можно физически интерпретировать, связывая его, как правило, с понятием

диссипации энергии. Те же самые соотношения можно получить с помощью метода взвешенных невязок или метода Галеркина, и читателю рекомендуется сделать это в соответствии с указаниями гл. 3.

Помимо нескольких простых задач, описываемых квазигармоническим уравнением, будут рассмотрены некоторые задачи о вязком течении, описываемые уравнениями более высоких по--рядков [7]. При этом будет упомянута другая постановка некоторых задач теории упругости [8].

15.2. Экстремальная проблема

Квазигармоническое уравнение, описывающее поведение некоторой неизвестной физической величины ф, в общем виде можно записать следующим образом:

д дх

(-) + i(.t) + i()+Q = 0. (15.1)

где - неизвестная однозначная в рассматриваемой области функция, а kx, ky, и Q - известные функции координат X, у я Z.

Читатель, знакомый, например, с задачами теории теплопроводности, отождествит функции kx, ky и kz с кoэффициeJтaми теплопроводности анизотропного материала, функцию Q - со скоростью теплообразования, а неизвестную функцию ф - с температурой (при условии, что главные направления анизотропии материала совпадают с осями координат). В задачах электротехники эти величины можно связать соответственно с коэффициентами проводимости, плотностью тока и потенциалом. Независимо от того, какие физические величины рассматриваются, математически задача остается одной и той же.

Физические особенности частных -задач накладывают определенные граничные условия. Чаще всего встречаются случаи, когда:

а) на границе заданы значения неизвестной функции ф:

Ф = Ф

б) на границе выполняется условие

= 0,

(15.2)

(15.3)

где 1х, 1у и 1г - направляющие косинусы внешней нормали к граничной поверхности.

Если kx, ky и кг равны, между собой, а и а равны нулю, то последнее условие сводится к известному условию непроницае-

ЗАДАЧИ О СТАЦИОНАРНЫХ ПОЛЯХ (ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ, ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ, ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ И ДР.).



мости границы

= 0.

(15.4)

В задачах теплопроводности q представляет собой поток (тепла) через поверхность единичной площади, а - потери тепла путем конвекции.

Уравнение (15.1) вместе с граничными условиями однозначно определяет задачу.Однако возможна и вариационная формулировка задачи. Согласно известной теореме Эйлера, для того чтобы в некоторой области V интеграл

X( )=HSK-f ydydz (15.5)

принимал минимальное значение, необходимо и достаточно, чтобы неизвестная функция ф{х,у,г) удовлетворяла дифференциальному уравнению

а

{д(дФ1дх)\

\, а (. df ) а f df ) af

dy \didф|dy] dz\d(dt!dz) j дФ

в той же области при условии, что ф в обоих случаях удовлетворяет одинаковым граничным условиям. Можно убедиться, что уравнение (15.1) эквивалентно требованию минимизации интеграла )

Ш + Ш} - *

(15.7)

по всей области при тех же граничных условиях для ф.

Однако при подборе функций формы нецелесообразно требовать удовлетворения обоим граничным условиям а и б . Хотя условию а удовлетворить легко, выполнение условия б привело бы к значительным трудностям. Поэтому лучще не накладывать никаких ограничений на значения функций на тех частях границы, где должно быть удовлетворено условие б , а добавить к функционалу (15.5) поверхностный интеграл по границе, который после минимизации обеспечивает выполнение этого граничного условия. В общем случае указанный интеграл в уравнении Эйлера имеет вид ,

\{qф + JCф')dS,

(15.8)

) На самом деле (15.6) является необходимым условием существования экстремали функционала (155).- Прим. ред..

где S - поверхность, на которой задано условие б . Если интеграл (15.8) добавить к выражению (15.5) или (15.7) для функционала х, то после минимизации граничное условие (15.3) будет выполняться автоматически. Читатель, интересующийся подробностями вывода уравнения Эйлера в этой довольно общей форме, найдет все необходимые сведения в приложении 6.

15.3. Конечно-элементная дискретизация 15.3.1. Общий трехмерный случай

Если неизвестная функция ф определена для каждого элемента в обычной форме:

Ф-lNi, Ni,...]

(15.9)

где ф1 и т. д. - узловые параметры, то функционал можно минимизировать приближенно.

Следуя обычному порядку, вычислим вклад каждого элемента, используя соотношения (15.7) -(15.9). Дифференцируй (15.7) н (15.8), для произвольного узла запишем

£х1 Г f

дФс ) I

дФ д

(Л-Ь д ( дф\ \дх)У ду dФl KdyJT

dx dфi \dxj -y dy dФi \ dy,

- (15.10)

Второй интеграл появляется только для элементов у внешней границы, на которой заданы условия типа б . Замечая, что

dNi dNf

. dx dx

W и Т. д.

( дФ\ dNj \dx) dx

dФi дф

Ж = И Т. Д.,

для всего элемента (см. гл. 3) получаем

§е = 11гГ{фГ + {РГ.

(15.11)



где матрица жесткости [kY

rf dN, dN, dN, dNidN.)

строится с помощью соотношений (15.9) и (15.10) и

f J = J Q,V, dV + \qN, dS+f\ W] aMi dS {f} (15.13)

с учетом того, что dV = dx dy dz. Минимизирующая система уравнений для всей области составляется по общим правилам. В результате получаем

где

=o=[ff]m+{F},

(15.14)

и Суммирование, как обычно, производится по всем элементам. Поскольку не известна лишь одна функция, в приведенных соотношениях фигурируют только скалярные величины.

Если интерпретировать соответствующие величины как жесткости и силы, то можно провести аналогию с расчетом конструкций. Анализируя структуру соотношения (15.13) для сил, легко заметить, что первый член соответствует объемным силам в задачах теории упругости.

Второй член представляет собой вклад только от границ, на которых задан поток q. В теории упругости ему соответствует поверхностная нагрузка. Если границы непроницаемые [т. е. граничное условие имеет вид (15.4)], то имеет место точное соответствие со случаем свободной границы.

Последний член соотношения (15.13) отражает новое качество. Соответствующая ему граничная сила пропорциональна перемещениям на границе и, следовательно, {ф}. Поэтому этот член эквивалентен некоторой присоединенной внешней жесткости элемента

(15.15)

[Л]= \ lMraW]dS,

представляемой в виде интеграла по границе. К дополнительной жесткости приводят, в частности, граничные условия для потерь тепла излучением или конвекцией (в задачах теплопроводности) .

Так как получена полная аналогия с задачами расчета конструкций, далее могут быть проведены стандартные операции.

На заключительной стадии расчетов можно вычислить не только значения функции ф (соответствующие перемещениям), но и ее производных (соответствующие напряжениям). Так, если записать

(15.16)

то получим матрицу производных, аналогичную матрице напряжений (2.17) гл. 2. Ясно, что

a.V(

(15,17)

Вычисление этих градиентов часто имеет определенный физический смысл, так как в некоторых задачах они характеризуют скорости потока.

15.3.2. Условия сходимости

Поскольку в функционал входят лишь первые производные от ф, то при выборе функций формы требуется удовлетворить только условиям непрерывности функции ф. Кроме того, функции формы должны быть такими, чтобы любые первые производные принимали внутри элемента постоянные значения при соответствующем задании узловых величин [фУ. Поэтому при решении практических задач можно использовать функции формы, рассмотренные в гл. 7, и соответствующие элементы. Кроме того, можно применять все криволинейные элементы, рассмотренные в гл. 8.

/5.5.5. Неоднородность и анизотропия

Интересно отметить, что в минимизируемый функционал не входят производные от коэффициентов теплопроводности (kx, ky, kz). Поэтому приведенные выше соотношения в равной степени справедливы и для постоянных и для переменных коэф-



фициентов. Они могут скачкообразно изменяться от элемента к элементу илн даже принимать различные значения внутри элемента, причем это изменение должно учитываться в процессе интегрирования при вычислении матриц элемента.

Однако для анизотропного материала дифференциальное уравнение (15.1) справедливо только в том случае, если оси X, у п Z совпадают с главными направлениями анизотропии.


Фиг. 15.1. Анизотропный материал. Локальные координаты совпадают с главными направлениями слоев.

При решении задачи для слоистого материала может возникнуть ситуация, когда это условие не будет выполняться (фиг. 15.1). В таких случаях характеристики элемента следует записывать в локальных координатах д/, у' и г', а вычислительная программа должна давать возможность осуществлять необходимые преобразования.

При этом возникает одно важное отлнчие от расчета конструкций. Поскольку такие матрицы элемента, как, например, [hy в (15.12), связывают скалярные величины, они не зависят от ориентации локальных осей. Поэтому для каждого элемента при желании можно использовать свою локальную систему, причем это не потребует матричных преобразований и не повлияет на стандартную процедуру составления ансамбля.

15.3.4. Двумерная задача

Нетрудно записать частный вид общего уравнения (15.8) для двумерных задач, если предположить, что ф не зависит от г. В этом случае уравнение принимает вид

а минимизируемый функционал

+ \{qф + YCф^)dS. (15.19)

Получить все матрицы элемента довольно легко. Например, из (15.12) находятся элементы матрицы [hf:

,е (f, dNi dNi , , dNi dNi\. , /icnm

Обсуждать этот вопрос дальше, очевидно, нет необходимости. Однако, по-видимому, имеет смысл рассмотреть подробнее самый простой, но тем не менее очень полезный треугольный элемент (фиг. 15.2). Если принять

ai + biX + Ciy 2Д

как в соотношении (4.8) гл. 4, то получим матрицу жесткости в виде

bibi bib I btb -Симметрично J

4Д

CiCi CiCf CiC, CjCj CjC,

L Симметрично c c -

(15.21)

Также просто строятся и матрицы нагрузки; например, для Q читатель может получить очень простой (почти очевидный), результат

(15.22)




Фиг. 15.2. Разбиение двумерной области на треугольные элементьа.

Уравнение (15.8) можно записать в цилиндрических координатах и использовать для решения осесимметричных задач. В этом случае дифференциальное уравнение принимает вид

(vl) + i(V)+Q = 0. (15.23)

Соответствующим образом должен быть преобразован и функционал, но проще считать величины кгГ и kr модифицированными значениями коэффициентов теплопроводности и непосредственно использовать приведенные выше выражения. При этом интегрирование лучше всего производить численно, как в аналогичных задачах гл. 5.

15.4. Примеры. Оценка точности

Легко показать, что уравнения, полученные в результате объединения выраженных в явном внде жесткостей треугольных элементов для регулярных сеток (фиг. 15.3,о), совпадают с уравнениями, полученными известными конечно-разностными методами [10].- Очевидно, что и решения, полученные этими ме-



Фиг. 15.3. Образцы регулярного и нерегулярного разбиений.


Фиг. 15.4. Кручение вала прямоугольного сечеиня. Числа в скобках -более точное решение Саусвелла при использовании сетки 12X16 (Значения величины ♦/eei).



годами, будут одинаковыми и иметь одинаковую степень точности).

Если используется нерегулярная сетка, изображенная на фиг. 15.3,6, то различие между двумя подходами очевидно. Оно касается в основном вектора нагрузки {F} . При конечно-элементной аппроксимации значения узловых нагрузок несколько отличаются от нагрузок при конечно-разностной аппроксимации, но суммарные значения их одинаковы. Поэтому решения, полученные этими двумя методами, будут иметь только локальные отличия, а в среднем они будут одинаковы.

На фиг. 15.4 решение, полученное методом конечных элементов при нерегулярной сетке, сравнивается с решением конечно-разностных уравнений наименьшего порядка аппроксимации методом релаксации. Как и следовало ожидать, оба решения дают результаты одного порядка точности.

У читателя, вероятно, может возникнуть вопрос: зачем нужно было вводить другой метод, который, казалось бы, повторяет результаты известного и хорошо зарекомендовавшего себя метода? Причина кроется в том, что новый метод обладай рядом несомненных преимуществ. К ним относятся:

а) простота исследования неоднородных и анизотропных тел (в частности, когда направление анизотропии переменное);

б) возможность использования элементов различной формы и размеров для аппроксимации произвольных границ и для исследования областей сильного изменения неизвестных функций;

в) граничные условия для градиента (условия излучения) вводятся естественным образом и с большей точностью, чем в обычных конечно-разностных методах;

г) точность решения можно увеличивать за счет использования элементов более высоких порядков без усложнения граничных условий, чего нельзя добиться при использовании конечно-разностной аппроксимации более высокого порядка;

д) последнее, но очень важное при широком распространении ЭВМ преимущество состоит в том, что для составления ансамбля и решения систем уравнений можно использовать стандартные (предназначенные для расчета конструкций) программы.

Для демонстрации достижимой на практике точности приводятся два более сложных примера. Первый из них - это задача о чистом кручении неоднородного стержня (фиг. 15.5). Основное дифференциальное уравнение имеет вид


) В случае, когда на границе заданы аиачеиия неизвестной функции.




.3 S

о

и: о

о) =r

f- о

i я

о и

s Э

га °

о

где ф - функция напряжений, G - модуль сдвига и 6 -угол закручивания на единицу длины стержня.

1ри решении методом конечных элементов внутренняя полость заменялась материалом с модулем G, на трн порядка меньшим модулей материалов стержня). Эти результаты хорошо согласуются с точным решением методом конечных разностей [И].

На фиг. 15.6 приведен пример расчета задачи о фильтрации жидкости через анизотропное пористое основание. Уравнение, описывающее эту задачу, имеет вид

l(-S-) + if) = 0. (15.25)

где kx и ky - коэффициенты проницаемости в направлении главных (наклонных к границе основания) осей. Результаты сравниваются с результатами точного решения, показанными пунктирными линиями. На этом примере осо^бенно наглядно видна возможность использования элементов разных размеров.

15.5. Некоторые практические задачи

Анизотропная фильтрация. Первая задача связана с исследованием течения жидкости через сильно неоднородные анизотропные искривленные слои грунта. Основное уравнение опять имеет вид (15.25). Однако программу следует модифицировать с тем, чтобы получить возможность изменять направление главных осей х' и у' при переходе от элемента к элементу. Никаких трудностей при решении не встречается. Расчетная схема и некоторые результаты приведены нафиг. 15.7.

Осесимметричной тепловой поток. Уравнение для осесимметричного теплового потока можно записать в стандартной форме

l() + i(S = 0. (.5.26)

если отсутствует теплообразование. Здесь Т - температура, а fe-коэффициент теплопроводности. Координаты х и у заменены на координаты в радиальном и осевом направлениях гиг.

На фиг. 15.8 показано установившееся распределение температуры в сосуде высокого давления ядерного реактора [1] при равномерном нагреве изнутри.

Гидродинамическое давление иа движущейся поверхности. Если погруженная в жидкость поверхность движется с задан-

) Это было сделано, чтобы избежать трудностей, возникающих из-за многосвязиости области, н тем самым получить возможность использовать стандартную программу.




1 ... 13 14 15 [ 16 ] 17 18 19 ... 27