Главная страница сайта  Российские промышленные издания (узловые агрегаты) 

1 ... 36 37 38 [ 39 ] 40 41 42 ... 48

Вынужденные колебания без учета сил сопротивления

Если вынужденные колебания системы с одной степенью свободы вызваны приложенной к грузу гармонической возмущающей обобщенной силой

Pe=PoSlna)o/, (231)

где Ро- максимальное значение возмущающей силы Р^; Юс - круговая частота последней; t - время,

то амплитуда вынужденных колебаний А определяется по формуле А= \ = (232)

В формуле (232) Ьц- обобщенное перемещение точки подвеса груза при статическом действии силы Ро, ш - круговая частота собственных колебаний системы, а

р =----коэффициент нарастания колебаний. (233)

Если шош, то А-*0 и груз на упругой системе практически будет неподвижным

Если wo<w, то А-*Ъо и колебания груза будут происходить с амплитудой, равной его перемещению от статического действия силы Pq.

Если шо приближается к ш, то амплитуда А быстро возрастает.

Когда св(=ш, возникает резонанс п А = оо В действительности из-за наличия сил сопротивления А не будет обращаться в бесконечность, но может достигнуть весьма большой величины.

В резонансной зоне, когда 0,7<- 1,3, сравнительно небольшие

возмущающие силы могут вызвать в элементах колеблющейся системы значительные деформации, а следовательно, и значительные напряжения

Если частота возмущающей силы, увеличиваясь, проходит резонансную зону быстро, то амплитуда ие успевает достигнуть своего максимального значения.

Пример 128. К грузу Q= 100 кГ, укрепленному иа конце призматического стержня длиной 1=1 м и площадью поперечного сечения F=] см, подвешен груз Q,=2 кГ, который вращается иа плече р=8 ен, делая /г-=2400 об/тин (рис. 228,а). Модуль продольной упругости материала стержня £-=2 -10 кГ/см.

Определить амплитуду вынужденных колебаний груза, не учитывая шссу сгержия и сил сопротивления.

Частный случай. Если i~=0 (рис. 227, б), то

ь

12QD

Задачи 966-970. Определить коэффициенты приведения массы к„ балок, считая местом приведения массы сечение К

ч

г

	к с
	--2а--J

-30-

; С Г/см

Задачи 971-975. Определить периоды Т свободных колебаний системы

41 ~ 0 ПС

f = (.96 Ю^Мн/м'

т

,СкГ/см СпГ/см

Так как по формуле (233) коэффициент нарастания колебаний 1 1 .

ТО амплитуда вынужденных колебаний системы приобретает значение

/?=р8о=1,47.0,052 0.08 см.

Пример 129. Посередине ригеля рамы, изображенной на рнс. 229, а, расположен электромотор массой ш=9б кг. Неуравновешенная часть мотора представляет собой сосредоточенный груз массой Ш1=4 кг, вращающийся иа плече р=4 см вокруг оси мотора, делая п=1500 об/мин.

Определить амплитуду вынужденных колебаний рамы, если 1=1 м, момент инерции поперечного сечения ршеля и стоек / = =400 смК а Е=2-105 Mн/м'.

Озбствениый вес рамы можно не учитывать.

Решение. Сила тяжести электромотора и его неуравновешенной части будет:

Q=mg=940 н; С,=ш,§=39,2 н.

Гориаоитальные реакции в опорах рамы от статического действия груза Q найдутся иа формулы (200) канонического уравнения метода сил Xi= Так как

а £/8ц =21 л:? dx + 21Н = -Р.

Прогиб в точке подвеса груза Q от его статического действия определяем методом единичной фиктивной силы

-iri{rri+.)dx,=-=

° .2-10 400-10- = 10- м =0,875-10- см.

Решение. Так как линейное перемещение (удлинение) точки подвеса груза при статическом действии силы Q в направлении колебания

QI 100.100 1

EF - 2.10 .1 - ~

то по формуле (224) круговая частота свободных продольных колебаний

= = V81 -2-10 443

сек

Рис. 229

При вращении неуравновешенного груза Qt возникает центробежная сила Ро=<>о Р. составляющая которой в направлении колебания будет гармонической возмущающей силой (рис. 228, б) Рв=Ро sin (Во<, вызывающей вынужденные ко.чебания.

Угловая скорость вращения груза является круговой частотой вынужденных колебаний и равна

Ио = зд- = -gg- 251 /сек. Возмущающая сила имеет максимальное значение

1030 кГ.

г, Qi , 2-2512.8

От статического действия силы Ро в направлении колебания удлинение стержня равно:

Pol 1030-100 <~Ш~ 2-10 -1

; 0,052 см.

Задачи 978-980. Определить амплитуды А вынужденных колебаний систем.

В задачах 978. 979 учесть массу балок.

97а

Oo-o.err

QiS,e6 r

а-еосв,

п-ЮООоНшн

1м

Задача 981. Точка подвеса винтовой пружины совершает гармоническое колебательное движение согласно уравнению: Хв = = 10 sin 20/.

Определить амплитуду А вынужденных колебаний груза н динамические напряжения гаах Хд, если диаметр внтка пружины £>=10 см, диаметр проволоки пружины d=l см, число витков =25 и С=8-10 кГ/см\

/ =ЛГ сисек'

\LJO-il,9t!l

Определение напряжений и расчет на прочность

Динамическое обобщенное перемещение 8д какой-нибудь точки системы в произвольный момент времени / колебательного движения складывается из постоянного обобщенного перемещения 8, соответствующего виду деформации системы при колебании от статического действия груза Q и собственного веса системы, и переменного обобщенного перемещения, вызванного возмущающей силой

P, = P sin(o /, т. е. 8д=8-+-р„81п<о„/.

(234)

Для линейных систем аналогично определяютсн и обобщенные динамические напряжения Рд(Од или tj в точках элементов системы. А имеиио:

Рд=р-(-РРо sin Шо.

(235)

Круговая частота свободных колебаний рамы

При вращении неуравновешенного груза возникает центробежная сила Po~miis>ep, составляющая которой в направлении колебаний (рис. 229, б) будет гармонической возмущающей силой Р^=Ро sin (u(/, создающей вьшужденные колебания с круговой частотой

it-1500

= 157 Чсек.

30 ~ 30

Наибольшее значение возмущающей силы

Р„=4-1572-4-10-2=3940 н. От статического действия этой силы прогиб посередине ригеля

8 7-3940-1 3 7 10-4

~96 EI ~ 96.2.10 -400-10-s

Так как коэффициент нарастания колебаний 1 1

1

1 - ...а

3352

1,28,

то амплитуда вынужденных колебаний системы пмучается равной

Л=р8о=1.28-3,7.10-4=4,7-10-4 ж=0,047 см

Задача 976. Определить число оборотов о мотора (могущего перемещаться в направляющих), на оси которого расположен эксцентрик весом Qt, если известна амплитуда А вынужденных колебаний мотора. Вес Q включает вес мотора и эксцентрика Qi. Массу стержней не учитывать.

Cf,r/CM

Задача 977. Определить амплитуду А колебаний поршня индикатора паровой машины, двигающегося без трения в цилиндре диаметром D, если давление на поршень изменяется по закону

Рв=Рср+Рв sin IDot.

или

p<ig-, (241)

где [р ]-допускаемое обобщенное напряжение (1о1 или 1т1).

Пример 130. Посередине балки прямоугольного сечения F= =бх/г=12х1 сд длиной /=1 м расположен электромотор весом <Э=20 кГ. Неуравновешенная вращающаяся часть мотора представляет собой сосредоточенный груз Qi=l кГ, укрепленный на оси мотора на расстоянии р=4 см (рис. 231, а)

Определить число оборотов в минуту п оси мотора, при котором наибольшие нормальные напряжения в балке достигнут значения max Од=2000 кГ/см. Вес единицы объема материала балки i- =Sr/cM, модуль продольной упругости £=2-10 кГ/см\

Решение. Собственный вес балки

<3o=-tf/=8- 10-S. 12 -1.102=9.6 кГ.

Момент инерции поперечного сечения балки относительно нейтральной оси и момент сопротивления соответственно равны:

/ = = l см- W=-=-=2cM>.

При статическом действии на балку сосредоточенной силы Q и распределенной силы Qe наибольшее нормальное напряжение Оща, и наибольший прогиб 8n,jj, имеют значении:

Огаах - j17 - и? - WV 2 I ~ А - 2 2 ) ~

= 310 кПсм .

R Q , 5 QqF Р I 5 \

шах - 43£, -Г £ - 48£, (V Г g Voj -

Так как динамический коэффициент по формуле (238)

, 1 , max Од 2000 йд = 1 + ->-=-* = , 6,45,

шах Отах 310

то допускаемая амплитуда колебания

А = - 1) 8, = 5,45 0,27 = 1.47 см.

При статическом действии иа балку сосредоточенной силы Q прогиб в произвольном сечении, находящемся на расстоянии

где р - обобщенное напряжение (о или т), соответствующее виду деформации при колебании от статического действия груза Q и собственного веса системы, а р^- обобщенное напряжение от статического действия наибольшей возмущающей силы Ро-

Экстремальные значения напряжений возникают в моменты наибольших отклонений системы от положения статического равновесия и получаются равными

(236)

Так как при колебаниях напряжения периодически изменяются по величине (рис. 230), то в случае длительного процесса расчет на прочность колеблющихся систем следует производить методами, установленными в расчетах при циклической нагрузке.

Рис. 230

Рис 231

При кратковременных колебательных процессах, когда ампли-

тах Рд -min рд \

2-1 невелика, расчет на прочность можно производить по максимальным напряжениям так же, как и при постоянной нагрузке.

Так как наибольшее динамическое обобщенное перемещение

туда переменных напряжений -

max8, = 8 + p8 = 8(l--p-)=i

где

Ал = 1 + I

= 1 -Ь

(237)

(238)

- динамический коэффициент при колебаниях, то наибольшее динамическое обобщенное напряжение

max Рд=рЛд. (239)

Условие прочности может быть записано в следующем виде:

тахрд=рА!д<[р] (240)

Задачи 982-983. Определить максимальные динамические напряжения в системах, испытывающих вынужденные колебания. Вес Qo включен в вес Q.

Ж

-Им -

так вд

ЫцШ^. M 2llDDitf см

§ 3. Удар

Явление удара возникает при резком изменении скоростей движения соприкасающихся тел, систем или их частей.

Имеется в виду рассмотрение только простейших случаев соударения движущегося тела (ударяющего тела) с неподвижным телом или неподвижной системой (ударяемым телом) при следующих допущениях:

1. Ударяющее тело абсо.чютно жесткое.

2. Ударяемое тело имеет одну степень свободы и его обобщенные перемещения пропорциональны соответствующим обобщенным силам при статическом и динамическом действии.

3. Удар неупругий, в процессе которого не происходит отделения ударяющего тела от ударяемого, но общие деформации последнего упругие.

4. Вид деформации ударяемого тела такой же, как и при статическом нагружении соответствующей обобщенной силой, приложенной в месте соударения в направлении удара.

5. Скорость ударяющего тела мала по сравнению со скоростью распространения ударных волн, а время соударения значительно больше времени распространения этих волн по всему объему ударяемого тела.

При указанных допущениях обобщенные динамические усилия Рд, напряжения Рд и перемещения 8д в ударяемом теле приближенно могут быть найдены по формулам:

6д = М. У

(242)

Здесь Р, р и 8 взяты при статическом действии на ударяемое тачо обобщенной силы, приложенной в месте соударения в направ-

X от левой опоры, и прогиб 8 посередине балки соответственно равны:

й QP /ч л я Q/ 20 10° 5

~ 48£/ ( ~ ~ * /8 j и о -ЩЁТ - 48-2.10 . 1 ~ 24

Поэтому

и коэффициент приведения массы балки по формуле (238)

Из выражения (229) находим круговую частоту свободных колебаний балки:

Вследствие неуравновешенности вращающегося груза Q, развивается центробежная сила Ро= оР, вертикальная составляющая которой (рис. 231, б) Рв=Ро51п<оо< представляет собой гармоническую возмущающую силу, вызывающую вынужденные

колебания балки. Здесь гао=з() является круговой частотой возмущающей силы, а Ро- наибольшим значением этой силы.

При статическом действии силы Ро наибольший прогиб балки

о~ 48£/ ~48£/g о - 48-2-10е. 1-981 о ~ 24-981

Исходя из формулы (232), записываем:

/ 2- 24 - 981 61.82- ! 24-981-

% =- и . = 61,8 58.6 Vce.

Таким образом, искомое число оборотов в минуту

30 30 - 58,6 ссп к, п = - Ко =--- = 560 об/мин.

1 ... 36 37 38 [ 39 ] 40 41 42 ... 48