Главная страница сайта  Российские промышленные издания (узловые агрегаты) 

1 ... 29 30 31 [ 32 ] 33 34 35 ... 48

н от вертикальной Рф=1:

= 4р - 2р (1 - cos <р) = 2р (1 + cos <р). Следовательно, искомые перемещения:

8,= ж,М,йф = -gL(ц-cosф-sinф) X

о о

X sin фйф=--г 0.941-. 8 = Ж,М,ЙФ = -J(l+cosф--sinф) X

X (1 + С05ф)с1ф = 8

128 \ Pf Ш ) EI,

18,5

Эпюры изгибающих моментов Mi и Ми представлены на рис. 187, е.

Метод сил

Для раскрытия статической неопределимости упругих систем методом сил составляют и решают канонические уравнения вида:

8 Х, + 8 Х, + 8,3X3 + ... + 8, Х„ + 8, = О, 8,jX, + 8 Х, + 8,3X3 + ... + 8, Х„ + 8, = О, + 8зЛ + 8зЛ + - + \пК + К = 0.

КгК + 8 Л + 8 з^з + - + КпК + Кр = 0.

(199)

Каждое из этих уравнений выражает собой условие (192) - равенство нулю обобщенного перемещения в статически неопределимой системе, соответствующего каждой лишней неизвестной обобщенной силе Xi, Xz, Х3, .., Х„

Свободные члены уравнений 8,., и все коэффициенты 8у, о, являются обобщенными перемещениями в основной системе в направлении 1-той (указанной первым индексом) лишней неизвестной обобщенной силы Х{. о,- от действия всех заданных обобщенных сил, Р, а и 8,j - от каждой единичной лишней неизвестной обобщенной силы Х;=1 или Х = 1, указанной вторым индексом.

Все эти обобщенные перемещения можно определять любым известным методом или брать их из таблиц, если это возможно.

11 Заказ Л'г 886

За лишнюю неизвестную x принимаем горизонтальную реакцию на шарнирной опоре.

Пользуясь уравнениями статики и наличием висячего шарнира а, выражаем реакции в креплениях основной эквивалентной системы (рис. 187, б) через заданную силу р и лишнюю неизвестную x. На вспомогательной системе (рис. 187, е), чагружениой силон Х=1, возникает только горизонтальная реакция в заделанном сечении.

Изгибающие моменты на участках / и основной эквивалентной и вспомогательной систем получаются соответственно равными:

М, = 4Рр -Р2р (1--cos Ч))-Л2р sin =2Рр (1 + cos кр) - 2Лр sm (р, М,1 = Лр sin (р, М; = - 2р sin (р и М], = р sin (р

Поскольку элементы геометрических осей брусьев имеют значения:

ds, = 2pd(p, ds = pdtp, / = 2/ то уравнение (в) принимает вид:

8 ( [Xsintp-Р(1 + cos(р)]sin(pd(р -у\х sinipdtp = 0. о о

После раскрытия интегралов получаем:

-iJ-7iX-16P = 0,

Л = -т|1- р 1,198 Р.

Для определения горизонтального 8 и вертикального 8, перемещений шарнира А пользуемся вспомогательными системами, изображенными соответственио на рис. 187, г и 187, д.

Поскольку на участке этих систем усилия не возникают, то рассматриваем только участок /. Для этого участка изгибающие моменты: от заданных сил:

/И, = 2Рр(1 -bcosq)) -2Xpsm(p=2Pp(l+cos9-ys(n9),

от горизонтально приложенной силы Рф=1:

Та, = 2psin<p

ментами малой кривизны, для которых роль продольного усилия и поперечной силы мала, то

(201) а)

где ds - элемент длины геометри- 2п

ческой оси участка.

Пример 103. Дано: Р, q, а (рис. 188, а).

Раскрыть статическую неопределимость системы, учитывая деформацию участков только от изгибающего момента.

Р е щ е н н е Выбираем за лищнюю неизвестную Xt реакцию на подвижной опоре. Так как MM=I=Q и М^-фО только на участке длиной 2а н на этом участке р„с g{j для основной (рис. 188, б) и вспомогательной (рис. 188, е) систем Л1=-Р(а-\-х) - н /V1=jc, то по формуле (201)

2а

Р (о -Ь дг) -Н

хйх

fa>+2qa

МЧх

хЧх

= (7Р + Ъда).

Пример 104. Дано: q, а, Е, I (рис 189, а). Построить эпюру изгибающего момента.

Р е щ е н и е. Для раскрытия статической неопределимости раскрепляем раму сечением посередине ригеля (рис. 189, б)

Основная система изображена на рнс 189, в, а вспомогательные системы с эпюрами изгибающих моментов от Ai=I, Хг=\ и Х^=\ представлены на рис. 189, г, д, е

Так как эпюры М от Ai=l и 3=1 прямо симметричны, а эпю-

11* 323

Перемещения 8; могут быть больше или меньше нуля и равными нулю; онн зависят от заданных сил, геометрии системы и выбора основной системы.

Перемещения 8,; и В, не зависят от заданных сил, а полностью определяются геометрией системы н выбором лншннх неизвестных; главные коэффициенты В,.; - величины существенно положительные и отличные от нуля; побочные коэффициенты 8;;= 8; могут быть больше нуля, меньше нуля и равны нулю.

При выборе основной системы следует стремиться к тому, чтобы как можно больше побочных коэффициентов обратилось в нули. Симметричные системы целесообразно раскреплять так, как это указано на стр 315

Систему п раз статически неопределимую надо рассматривать в л + 1 состоянии: основном от всех заданных обобщенных снл, и п вспомогательных от каждой лишней неизвестной обобщенной силы, равной единице.

Если статически неопределимая система подвергается только изменению температуры, то свободными членами канонических уравнений будут 8,. представляющие собой обобщенные перемещения, соответствующие f-той лишней неизвестной обобщенной силе в основной системе от изменения температуры. Прн одновременном действии на систему нагрузки н изменения температуры свободные члены в канонических уравнениях представляются суммой 8,+8;,.

Учет влияния неточности изготовления элементов системы при ее монтаже производят введением в свободные члены канонических уравнений величины 8(д, выражающей обобщенные перемещения, соответствующие t-той лишней неизвестной обобщенной силе в основной системе от неточности Д изготовления элементов.

Положительные нли отрицательные значения 8,., и 8м берут н зависимости от того, совпадают нли противоположны направления этих перемещений с принятым направлением X,-.

Для систем, один раз статически неопределимых, каноническое уравнение метода сил принимает вид:

8,.X,+8,=e

и, следовательно, лишняя неизвестная обобщенная сила получает значение:

Если рассчитываются один раз статически неопределимые плоские балочно-рамные системы или системы с криволинейными эле-

Свободные члены определяем через интегралы Мора:

r qx 9

Подставляя найденные величины в канонические уравнения и производя некоторые преобразования, получаем:

ШХ = 270, 72aXl + 64Xs = 9 9a

Zqa- 10 9 64

20 а 10 72 а 64

WaSqa 72a9qa

1280-720 0.1821 ga;

27 160

0.1688 а;

560 о

180-216

а'-0.0643 qa\

Пользуясь методом наложения, получаем эпюры изгибающего момента М на всех участках рамы (рис. 189. ж):

н сеченни А М = 0,1Ш qa-a - 0.0643 qa 1 =0,1045 qa;

в сечении В М =-0,1688 qa-a - 0.0643 qa-l=-0,2331 qa;

в сечении С М = 0,1821 с-За - 0.1688 lya-a - 0,0643 qa = =0.3132

в сеченни D М = 0.1821 qa-3a + 0.1688 а-а - 0.06439а' -

--j--27 а^ = - 0.8492 gd;

н сечении Е M= 0,1821 а-1,5а + 0,16889а-а - 0,0643 а^-

-ш- -- о.шог^а^

Пример 105. Дано: а, Ь, с, d, Е, G о], а, Д/>0 (рис. 190, а).

Составить условие прочности системы на участке с.

Р е щ е н и е. Основная система с изменением ее геометрии от повышения температуры на Д/ градусов представлена на рис 190, б, а вспомогательная система - на рис. 190, в.

pa М от Л'2= 1 - обратно симметрична, то побочные коэффициенты 12=82 =0, 823=832=0 н канонические уравнения метода сил приобретают вид:

SsjXj + = О, 8з,Х,+6,Л+8,р = 0.

Коэффициенты 8 , 822, 833 и 8,3=83, находим способом перемножения эпюр:

£/8 =2.3- а^а~га=\8а. ; EIb=i{a~ -a+a-3a-aj =

£/8зз = 2(1-а.1 + 1.3а.1) = 8а; Е/8 = £/6,1: = 2. 1 . За -i- За = 9а .

Так как

а с

у 5iL -

ab&t

где F = -г- , / = --J- , a / =

64 ° p 32

В опасном заделанном сечении участка в изгибающий момент М=Х,с, крутящий момент MXfO Условие прочности

-- = --< \о1

где W=--J. Ч= 1 по третьей или tj= V0,75 по четвертой гипотезе прочности

Пример 106. Дано: Р, р, Ei ,li , £ , Рц, кривой брус малой кривизны (рис. 191,а)

Определить 8 - перемещение подвижной опоры.

Решение. Раскрепляем систему путем разъединения элементов / и в подвижном шарнире (рис. 191, б). Основная и вспомогательная системы будут системами, представленными на рнс. 191, е.

Так как

= - gyJ--Р(1 - cos<p)p. sincp -pdff = --щ-г^>

A, = - -

2£; /, + E f

Рис J90

Рис. 191

--в.т р.

тонкостенностью колец при составлении уравнений, раскрывающих статическую неопределимость, достаточно учитывать только деформацию от изгибающего момента.

Если Кольцо по геометрии и нагрузке симметрично относительно одной оси (рис 193, а), то в поперечных сеченнях, совпадающих с осью Симметрии, поперечные силы равны нулю. Следовательно, лишними неизвестными в этих сеченнях будут изгибающий момент (X, или X,) и продольное усилие (Х^ или Хг)- Вместо всего кольца можно рассматривать только одну его симметричную половину (рис 193, а, б).

Рис. 193

Рис 194

Если кольцо по геометрии и нагрузке симметрично относительно двух осей (рис 194, а), в сечениях, проходящих через оси симметрии, поперечные силы равны нулю, а продольные усилия можно определить из условия статики как Суммы проекций сил и усилий, приложенных к полукольцу, на соответствующую ось симметрии. В этом случае лишним неизвестным будет только изгибающий момент (Xj или Х/). Вместо всего кольца можно рассматривать одну его четверть, заключенную между осями симметрии (рис. 194, б или в)

Если кольцо имеет более двух осей симметрии, то можно рассматривать только одну его часть, заключенную между сечениями, совпадающими с соседними осями одинаковой симметрии.

Искомое перемещение S определится как абсолютное удлинение стяжки , т. е

2Рр

E F E F

Е, I,

fE F

Если стяжка отсутствует (т. е. E Fti=Q), то

Если обе опоры неподвижны (т. е. E,iFit=°°), то X = и 8 = 0.

Для первого случая (£ Fi, -Q) изгибающий момент в произвольном сечении

р

М s=--g-pC -СОЗф).

Эпюра М имеет вид, представленный на рис 191, д. Для второго случая (£;/ Рц - оо) изгибающий момент в произвольном сечеьии

Эпюра М имеет вид, представленный на рис 191, е.

§ 3. Расчет плоских тонкостенных колец

Под плоским тонкостенным кольцом понимается любая плоская жесткозамкнутая упругая стержневая система, длины участков которой значительно больше размеров их поперечных сечений. Такая система трижды статически неопределима. Лишними неизвестными являются нзгнба-fh ющий момент Xi, продольное усилие Х^ и поперечная сила Л'з, т. е. внутрен-V ние усилия в поперечном сеченни, про-веденном для раскрепления кольца (рис. 192) Поэтому жесткозамкнутые системы относятся к системам внутренне стати-Рис. 192 чески неопределимым.

Статическую неопределимость колец можно раскрыть, используя либо начало наименьшей работы, либо (что удобнее) канонические уравнения метода сил В связи с

1 ... 29 30 31 [ 32 ] 33 34 35 ... 48