Главная страница сайта  Российские промышленные издания (узловые агрегаты) 

1 ... 28 29 30 [ 31 ] 32 33 34 ... 48

Определить Вд , !а.

Решение. По условию построения балки равного сопротивления:

В опасном сечении

W х

IE/ Jmax

h ~-w

Рис. 180

Рис. 181

Если условно привести балку к постоянному опасному сечению, то /о=/ и приведенный изгибающий момент

= const.

Эпюра приведенного момента (рис. 181, б) представляет собой прямоугольник высотой

На рис. 181, в, г изображены эпюры М от Мф~1 и Pii,= l, приложенных в сечении А и направленных против часовой стрелки для Мф=1 и вертикально вниз для Рф=1.

Так как ш = М„ I = I; { = 1 и i=~, то искомые

где /о- момент инерции постоянного сечения, к которому условно приводится участок, а / - момент инерции переменного сечения

Пример 97. Дано: Р, а, Е, I (рис. 179, а).

Определить 8 - горизонтальное перемещение сечения А.

Решение. На рис. 179, виг представлены эпюры изгибающих моментов: заштрихованная - от заданных снл, незаштрихо-ванная - от фиктивной силы Рф=1, приложенной в сеченни А (рис. 179, б) и направленной по горизонтали вправо.

Так как

\=-\ 2=-; 2 = ; з = -g-.

то, принимая во внимание правило знаков, по формуле (191)искомое перемещение

8, =

Пример 98. Дано: Р, я, Е, I (рнс. 180. а) Определить 6 и /c P е ш е н и е. На рис. 180, б представлена эпюра М от заданной силы Р.

На рис. 180, в эпюра М от фиктивного момента Л1ф=1, приложенного в сеченни А и направленного по часовой стрелке, а на рис. 180. г эпюра М от фиктивной силы Рф=1, приложенной в сечении С и направленной по вертикали вниз

Так как

Pd ,. 5 а

Е - -

.3 Ра . 7 5 па

2=1Г а =-4-. з=-у2 з=-б- : ini-Pa,

4 = -

?4 =а.

то (учитывая различие в моментах инерции сеченни на участках) по формуле ( 91) искомые перемещения

El 1

29 Ра-48 £/

17 Ра 24 £/

Пример 99. Дано: /, £, [о] - балка, равного сопротивления с постоянной высотой Л (рис, 181, а).

§ 2. Раскрытие статической неопределимости систем

Начало наименьшей работы

Раскрытие статической неопределимости упругих систем может производиться по началу наименьшей работы. Согласно этому началу лишние неизвестные обобщенные силы имеют такие значения, при которых обобщенные силы, действующие на систему, совершают наименьшую работу.

Решение задач выполняется по следующей общей схеме.

Статически неопредели.мая система раскрепляется до статически определимой, но геометрически неизменяемой и называется основной системой

Для эквивалентности заданной системы с основной последняя нагружается всеми действующими Я; и всеми лишними неизвестными Xi обобщенными силами.

Далее определяется потенциальная энергия упругой деформации основной системы как функция второго порядка от Я, и X,.

Так как обобщенные перемещения, соответствующие лишним неизвестным обобщенным силам, равны нулю, то составляются уравнения вида:

=0 (1 = 1,2,3...) (192)

Из этих уравнений определяются все лишние неизвестные обобщенные силы Xj.

Уравнения (192) и являются условиями минимума потенциальной энергии упругой деформации системы как функции лишних неизвестных обобщенных сил

Для стержневых систем уравнения начала наи.меньшей работы могут быть выражены через формулу Максвелла-Мора

Если система состоит из прямолинейных элементов, испытываю-ших растяжение, сжатие, прямой изгиб и кручение, то каждое уравнение (192) записывается следующим образом:

Sjfrf + Sj#rf. + SJ#rf. + Sjrf-0,(193)

где N, М, Q и Мк- соответствующие усилия в произвольном поперечном сечении каждого участка основной эквивалентной системы от всех заданных Я; и всех лишних неизвестных X,. обобщенных сил;

N, М, Q к Мк- такие же усилия в основной системе, но от действия только одной из лишних неизвестных обобщенной силы Х~1.

Таким образом, чтобы решить п раз статически неопределимую задачу, систему следует рассмотреть в п+\ состоянии: основном

перемещения

л - EI ~ EI ~ Eh Ia

EI 2EI Eh

Задачи 822-826. Определить прогибы / и углы поворота в сечения С.

\mun\x.

/Ля}и

,825

\ 1
1 <3
к *

-л

Задачи 827-830. Определить вертикальные 8 и горизонтальные Sj, перемещения сечения, в котором приложена сила Р

т р

Задачи 831-833. Определить перемещения Ь подвижной шарнирной опоры

2Р

£

г

При уточнении расчета уравнения составляются с учетом продольных усилий:

(198)

Раскрепление статически неопределимой системы должно производиться так, чтобы основная система получалась наиболее простой и удобной для расчета.

Геометрически симметричные системы с прямоснмметричной (рнс. 182, а) и косо или обратно симметричной (рис. 183, а) нагрузкой целесообразно раскреплять путем их рассечения по плоскости симметрии. Это приводит к снижению числа искомых лишних неизвестных обобщенных сил и позволяет рассматривать только одну отсеченную часть системы (рис. 182, б и рис. 183, б)

В сеченин, совпадающем с плоскостью симметрии, при пря-мосимметрнчной нагрузке обращаются в нуль кососимметрич-ные усилия Q и М^, а при кососимметричной нагрузке - прямосимметричные усилия Л' и М (рис. 184).

Для прямолинейных элементов системы интегралы, входящие в уравнение (193), можно раскрывать способом перемножения эпюр.

Если статическая неопределимость системы раскрыта, то обобщенное перемещение какого-нибудь сечения можно определять прн рассмотрении или заданной, или любой возможной основной эквивалентной системы. Целесообразно выбирать такую систему, для которой проще всего определить усилия от фиктивной единичной обобщенной силы.

Пример 100. Дано: Р=8 Т, а=1 м, Pi=30°, 2=60°, Е, = =Еи =Еш = е = 2.10 кГ/см (рис. 185. я).

Определить ai.ii.ui,; 8 .

Решение. Так как элементы заданной системы имеют одинаковую жесткость сечения и испытывают только растяжение усилиями, постоянными по длнне, то для раскрытия статической неопределимости используем упрощенное уравнение (194).

mNi=o.

За основную эквивалентную систему примем систему, изображенную на рис. 185, б. Для нее из условий статики находим:

Р-Х 2 cosp,

Р-Х

2 cost

эквивалентном под действием всех Р, и X, ига вспомогательных сил, каждая из которых находится под действием только одной силы нз Xi=\.

Для плоских шарнирно-стержневых систем с силами, приложенными в узлах, уравнения (193) упрощаются до вида:

dx = 0. (194)

Рис 182

Рис 183

Для плоских балочно-рамных систем, в которых значение продольных усилий Л' н поперечных сил Q мало, можно пользоваться упрощенными уравнениями:

dx=0. (195)

Для систем, элементы которых испытывают только кручение

(196)

Для плоских статически неопределимых брусьев малой кривизны

(197)

Ц

Из условий статики для вспомогательной системы (рис. 185, в) получаем:

Принимая во внимание, что li =-jj-p- =2м. In = . =

м, 1, = а (ctg - ctg Р,) = /3 = ж.

уз- . Ш v 6г1 г у- yj

для определения лишнего неизвестного усилия уравнение (а) преобразуем следующим образом:

2N,N, l, + 2N Nn l + N, Nui l i = - 2 2 +

+ 2X X-A. = A [ 2P+ (2+3 1/F)X] =0.

А = Л/,. = Л. = - .0,278Р

Нормальные напряжения в поперечных сечениях элементов

системы:

X 0,278-8.10 °ii = °ш = Т~ ~-2-=1112 кПсм; о,= -р-

0,417-8.10 ,ссо г, г

ж -=-2-= 1668 кПсм-

Для определения вертикального перемещения 5 узла А используем статически определимую систему.1 представленную на рис. 185, г.

Так как в этой системеЛ; = 2-\-zy ° фиктивной единичной силы Рф=1, приложенной в узле А по вертикали вниз

Ni =2соф^ yf искомое перемещение

N,N,1,=

EF EF 2+ЗУГ УТ

2-0,417-8-1№-2-10=

2-10 -2-1,732

0,19 СМ.

По формуле (188) искомый прогиб / получается равным:

с

Пример 102. Дано: Р, р, Е, Iu=2lt - брусья малой кривизны (рис. 187, я)

а) I

Определить горизонтальное 8. и вертикальное 8, перемещения шарнира А и построить эпюры изгибающих моментов.

Решение. Так как брусья имеют малую кривизну и модули продольной упругости их материалов одинаковы, для раскрытия статической неопределимости системы используем упрощенную формулу (197)

Пример 101. Дано: q, I, Е, I (рис. 186, а).

Определить /д.

Решение. Так как жесткости поперечных сечений вертикального и горизонтального участка полурамы одинаковы, то для раскрытия статической неопределимости системы используем упрощенное уравнение (195)

JMM dx=0. (б)

Изгибающие моменты Mi и Mjj на участках основной эквивалентной системы (рис. 186, б) и и Ml, на участках вспомогательных систем (рис. 186, в, г) соответственно равны

М, = Х^х--, М„ = Х^21 + Х^х - 2ql - qx\

М, = X, Ml, = 21, Ml = О, M,i = X. Составляем два уравнения (б):

{ix- xdx + 2/ J (Х,2/ + Xx - 2qi-qx)dx = О,

о о

J (Xfil + Х^ - 2ql - qx) xdx = 0.

После раскрытия интегралов эти уравнения принимают вид:

20X1-1-3X2-209/ = О,

12Х, 4-4X2-159/ = О, откуда

-1 = - 2 = -if

Для определения прогиба сучения А находим М для основной эквивалентной системы и М для вспомогательной системы (рис. 186, д) в сечении, лежащем справа от сечения А на расстоянии х:

М

= Xi2/ + X, (4 + х) - 2qP-q {±- + xj = =--{Ш^-Шх-1%

М = ~х.

1 ... 28 29 30 [ 31 ] 32 33 34 ... 48