Главная страница сайта  Российские промышленные издания (узловые агрегаты) 

1 ... 26 27 28 [ 29 ] 30 31 32 ... 48

Определить niaxo , niino е.

Решение. В соответствии с эпюрами N, Q и М (рис. 167, б, в, г) наибольшие нормальные напряжения будут в заделанном сечении бруса, гдеЛ= - Р = - 1 Т и М = 2Рр = =2.1-50= 100 Т-см, а наибольшие касательные напряжения будут в сечении свободного конца бруса, где Q=P=1 Т. Для квадратного сечения

: ir, = 117 = =

Р = а2 = Ю^сж; а , 10

6р

1 ±

6. 50

1±

0,939 1,074

Поэтому

max о„ = I- а„ -Ь f = 1 0,939 563 - 10

553 кГ/см;

-6i.074--51 -644-10 =

min Од:

М , N

тах--

Р

а' 12р

10=-

= - 654 кПсм;

- = -i- 0,167 сж= 1,67 лш.

12.50

Задачи 766-769. Определить наибольшие растягивающие ffmax* наибольшие сжимающие о„ и нормальные напряжения оа в указанной точке А опасного сечения

Р=2ВВкГ

является отвлеченной функцией координаты и, характеризует нелинейный закон распределения ол по сечению и зависит or формы

последнего и начальной кривизны бруса Если у-<-, то а мало

отличаются от единицы и ом можно подсчитывать по формуле,

установленной для прямолинейной балки о =-.

Наибольшие и наименьшие нормальные напряжения получаются в крайних волокнах бруса при м=й„ и м=-h. Они равны

, м

Г178)

где W - экваториальный момент сопротивления сечения для наружного волокна 11= и для внутреннего волокна Wb=-J,

1 ±

1±

(179)

Значения коэффициентов для некоторых форм сечения приведены в таблицах приложений 4.

Результирующее нормальное напряжение' о в произвольной точке поперечного сечения кривого бруса можно определить по формуле

N , Ми

о =--\- -а,

(180)

в которую усилие N подставляется со своим знаком. В большинстве случаев o/v невелико по сравнению с ам

Касательные напряжения т, определяющие поперечную силу Q, имеют второстепенное значение и в расчеты обычно не включаются

Приближенно их можно подсчитать, как и для прямолинейных балок, по формуле (99)

. = 2i. ы

Пример 89. Дано: Р=1 Т; р=50 см; М= =Рр; а=10 см (рис. 167, а).

Для круглого сечения диаметра d Й7 = 1Гз = ir = O.ld = 0,1 сж-*; F = d . 1

2р

= 0,785 см ; 1,25.

Рис. 168

Рис. 169

По условию прочности (181):

max 1 а„ I = - = 1.25 + 250Р < 4000. Допускаемая сила

20Р

4000 250

: 16 КГ.

Пример 91. Дано: Р=& кн, q=\2 кн/м, р=16.10-2л, 6= Л,

to 1=200 Мн/м^ (рис. 169). Определить hub.

Решение. В опасном (заделанном) сечении бруса: М = Рр + --9р2=6.10. 16-10-2+ --. 12. Ю-. 162.10-*= 1421 н-м;

N --Р-др-б- 10 - 12. 10= . 16. 10-2 = 7920 н.

Пробные размеры сечения бруса определяем из расчета на изгиб как для прямолинейной балки

1421

6 8 [с7] 200 10е

= 7,1 . 10- лЗ=7,1 cм^

Л > 1/7,1-8 =3,84 см.

§ 3. Расчет на прочность

Для определения величины безопасной нагрузки, действующей на кривой брус, и для проверки его прочности пользуются условием:

max о =

М

(181)

Необходимые размеры поперечного сечения бруса подбираются пробами с последующей проверк9Й. Первую пробу можно брать из расчета бруса как прямолинейной балки в соответствии с неравенством

i52JM<[ . (182)

Прочность сечения следует проверять с учетом кривизны бруса и продольного усилия по формуле (181). Перенапряжение не должно быть более 5%.

Если материал бруса различно сопротивляется растяжению и сжатию, то в опасном сечении условия прочности должны удовлетворяться и для внутреннего, и для наружного волокна в соответствии с величинами допускаемых напряжений [Ор] и lo].

Пример 90. Дано: о1==4000 кГ/см\ а=20 см; d=l см; урав-

нение

оси стержня пружины у=

- -а sin -X а

геометрической

(рис. 168).

Определить Р.

Решение. Опасными сечениями стержня являются сечения в вершинах синусоиды, где М=Ра=20Р кГ см, N=-Р кГ и радиус кривизны геометрической оси

+ я2 cos -- X

-ю0,\а = 2 см.

Xli. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА УПРУГИХ СИСТЕМ

§ 1. Определение упругих обобщенных перемещений

Метод фиктивной нулевой обобщенной силы

Выражение, определяющее количество потенциальной энергии упругой деформации U, накопленной телом или системой при статическом действии сил, можно представить в виде однородной функции второго порядка, либо от обобщенных сил Р;, либо от обобщенных перемещений 8 если между последними существует линейная зависимость.

Обобщенные силы Р, представляют собой любые силовые воздействия (силы, моменты, группы сил, группы моментов и т. д), которые удобно выделить для подсчета энергии.

Обобщенные перемещения 8; представляют собой величины, определяющие перемещения, на которых обобщенные силы совершают работу (например, сосредоточенной силе соответствует линейное перемещение, моменту - угловое перемещение и т. д.).

Упругое обобщенное перемещение ?, происходящее в теле или в системе под влиянием обобщенных сил, можно определить по формуле Кастилиано:

Ч^)я,=о. (183)

где Рф- фиктивная обобщенная сила, соответствующая искомому обобщенному перемещению Эта сила приложена к телу или системе в том месте, в котором определяется перемещение; t/ф - потенциальная энергия упругой деформации тела или системы, выраженная однородной функцией второго порядка от всех действующих обобщенных сил Р, и от фиктивной обобщенной силы Рф.

Если в том месте, где определяется обобщенное перемещение, имеется заданная обобщенная сила Р, соответствующая искомому перемещению, то отпадает необходимость в приложении Рф и тогда

i = . (184)

Если ( )рф=о > О или > 0, то направление обобщенного перемещения 6 совпадает с направлением действия Рф (или Р),

Если же (-gpj-] Рф=,о < О или ~gp < 0, то направление обобщенного перемещения 6 противоположно направлению действия Рф (или Р).

Линейное перемещение, найденное по формуле Кастилиано, представляет собой проекцию перемещения точки приложения соответствующей силы на направление линии ее действия.

Учитывая кривизну бруса и наличие продольного усилия в опасном сечении, берем h=A см. и 6=3 см. При этих размерах:

U7=Лli = 8cл^ /= = 3-4= 12 си .

6-16

2р

: 1,095.

2- 16

Согласно формуле (181), расчетное напряжение во внутреннем волокне бруса

max (1:

2 1,095 + -

Л1 JV

И7 в-1- р - 8.10-е г 12-Ю-

201,1 10 к/л = 201,1 Мк/ж .

Так как перенапряжение составляет 0,55%, то можно считать подбор сечения выполненным удовлетворительно.

Задачи 770-771. Определить величины допускаемых нагрузок Р, М.

р

У^(6 X)

а'60см, Ь^гВсм laJpSOBxr/cM, [бЗ- 1?00пГ/см

fi-fl-fj-fi,i,OcM

[в]-moo чг/см

Задачи 772-773. Проверить прочность кривых брусьи Считать допускаемое нормальное напряжение [а ]=1600 кГ/сж

to а'

где ds - элемент геометрической оси криволинейного участка. При уточненном расчете

(.90)

Пример 92. Даио: Р, а, I, Е, I (рис 170, а).

Определить стрелу прогиба /.

Решение. Максимальный прогиб / посередине балки будем определять по фор- а) муле (188), которую можно записать в следующем виде:

willIII \

Рис. 170

Изгибающие моменты в б) произвольных сечениях балки имеют значения; от действия заданных сил Р

М„ = Рх; М„ = Ра; от действия фиктивной единичной силы Яф= I (рис. 170. б)

Величина искомого прогиба

2£/

J xi dXj+a J (a + x dx

JPa 2iET

Установим влияние на прогиб поперечной силы. По формуле (185) при прямом изгибе прогиб от поперечной силы

Так как иа участках балки поперечные силы от заданной фиктивной нагрузки соответственно равны:

то fo

где i =

Pa .. h

24*-

24k

Метод фиктивной единичной обобщенной силы

В самом общем случае действия сил на упругую стержневую систему, состоящую из прямолинейных элементов, обобщенные перемещения удобно определять по формуле Максвелла-Мора:

+ llky]dx+Idx, (185)

где N, М^, My, М^, Qy к Q - соответствующие усилия в произвольном поперечном сечении каждого участка системы от всех действующих на систему обобщенных сил;

Л', М^, My, ТИд, Qy и Q- такие же усилия, но от действия на систему только фиктивной обобщенной силы, соответствующей искомому обобщенному перемещению и равной безразмерной единице;

Е и G - модули продольной и касательной упругости материала участка элемента;

F - площадь поперечного сечеиия, где определяются усилия; и 1у-главные центральные моменты инерции площади/;

/к- момент инерции при кручении площади F; ky и - коэффициенты формы сечения, характеризующие неравномерность касательных напряжений при изгибе, dx - элемент геометрической оси участка

Интегрирование производится по длине каждого участка, суммирование - по всем участкам

Для плоских шарнирно-стержиевых систем с силами, приложенными в узлах.

8 = 1]г, (186)

где I - длины участков.

Для систем, участки которых испытывают только кручение,

dx. (187)

о/к

Для плоских балочно-рамных систем, у которых влияние на деформацию усилий N и Q мало,

dx. (188)

Для систем с элементами малой кривизны

£, ds, (189)

Отсюда видно, что /может составить от / 5% и больше при

т. е. для не очень коротких балок.

Если же взять, например, двутавровую балку № 20а из прокатной стали, то для нее §=2,5; i=8,37 см; k=2,78 и

А=24 . 2.78 . 2,5 J=i Следовательно, составит 5% от / уже при

Пример 93. Дано: Р, а, Ь, с, F, Z. Е, G (рис. 171, а).

Определить 8 - вертикальное перемещение точки приложения силы Р, учитывая все виды деформации стержня.

Решение Искомое перемещение о будем определять по формуле (185)

Растяжение испытывает только участок Ь. Продольные усилия от сил Р и Рф=1 (рис 171, б) равны N=P; N=1.

Изгиб испытьшают все участки стержня Изгибающие моменты и поперечные силы в произвольных поперечных сечениях участков стержня от действия сил Р и Рф= 1 соответственно равны: M=Pxj M=x; М^Ра; М^=а; М^==Рх; ~М==х; Qa=P; Qc==l; Qs=0; Q*=0; Q,==P; Q,=\.

Кручение испытывает только участок с Крутящие моменты от действия сил Р и Рф=1 равны: М^=Ра, М^=а

Подставляя найденные усилия в формулу (185), получаем следующее значение искомого перемещения:

/ а

РЬ Р

EF El

2 + + I + (д + с) +

= Р

-р-(а+с)+-

Пример 94. Дано: Р, р, £, /, кривой брус малой кривизны (рис. 172, а).

Определить 8с- вертикальное перемещение сечения С.

Принимая во внимание, что для изотропных материалов отношение- находится в пределах 2<~<3, отношение- будет иметь следующие крайние значения:

Если а О, то

= (48 72)

А^(16-ь24)А^. если а = . то А = (24 + 36) А = 1,5 {-\

Для второго случая (а=-), при котором поперечная сила оказывает на прогиб наибольшее влияние, рассмотрим балки прямоугольного и круглого сечений.

\f>q,-1
к^и X.

Рис 171

Рис. 172

Так как для прямоугольника высотой h и круга диаметром d соответственно t = или А = -g и й = то для балок

прямоугольного сечения

-=(2,4--3,6)1Г

и круглого сечеиия

-=(1-4-) (Ь778 2.667).

1 ... 26 27 28 [ 29 ] 30 31 32 ... 48