Пром-Снег: Промышленность узловых агрегатов

Главная страница сайта Российские промышленные издания (узловые агрегаты)

1 ... 24 25 26 [ 27 ] 28 29 30 ... 48

ленной в одну сторону, и симметричной относительно середины стержня.

Для таких стержней упругая линия о г поперечного изгиба не имеет точек перегиба, т. е. имеет однозначную кривизну, а потому может быть представлена полуволной синусоиды (168).

В этом случае посредине длины стержня максимальный прогиб

(168.а)

Наибольший изгибающий момент

М^.. ==M,Pf = УИ., + -. (169)

Наибольшее сжимающее напряжение

max о| = -+- -рг- = -f- + 1 + -7---рТ- (*0)

где Р - осевая сжимающая сила.

Рз=-- Эйлерова сила, вычисленная при 71юбой гибкости стержня ерез главный центральный момент инерции / площади F поперечного сечения относительно оси, перпендикулярной плоскости действия поперечной нагрузки,

W - осевой момент сопротивления поперечного сечения стержня относительно указанной оси,

/ и М,- прогиб и изгибающий момент посредине длины / стержня только от поперечной нагрузки.

Из формулы (170) видно, что принцип независимости действия сил здесь неприменим и что напряжения при увеличении внешних сил возрастают в этом случае значительно быстрее, чем сами внешние силы.

Это требует перехода от проверки прочности по допускаемым напряжениям к расчету по допускаемым нагрузкам

Считаем, что рассматриваемая балочная система, испытывающая продольно-поперечный изгиб, работает с заданным коэффициентом запаса п, если при возрастании всех внешних сил в п раз она достигает опасного состояния, которое для пластических материалов отождествляется с достижением наибольшим (по абсолютному значению) нормальным напряжением величины предела текучести

шах N = + =о.. (171)

Приравнивая п допускаемому коэффициенту запаса прочности \п\, получим расчетную формулу на прочность

Для материала ветвей колонны принять £=2-10 кГ/слС; lai = 1600 кГ/см?:



- Я

§ 3. Продольно-поперечный изгиб

Стержни, находящиеся под действием продольных и поперечных сил и моментов, рассчитывают приближенно, исходя из допущения, что упругая линия стержня близка к синусоиде.

Рис 151

Для балок с шарнирно закрепленными концами (рис. 151), которые в основном рассматриваются в этом параграфе, указанная синусоида описывается следующим уравнением-

/ = /sin. (168)

При таком расчете (предусмотренном и в решении предлагаемых задач) более точные результаты получаются для стержней с шарнирно закрепленными концами при поперечной нагрузке, направ-

Решение. Так как

2-64 32 12 ~ 12

то прогиб посредине балки от силы Pi

f -- 00-8 С-З ?5 п- 48£/ 48-2-да-32 ~ 32 -

Эйлерова сила

р . 10-2.10-32 16

Отношение

Р 800-3 3, 3 17

Рд 16-10 20 Рэ 20 20

По формуле (168) искомый прогиб / = -g-- =0,919см,

Таким образом, / от / составляет 2jj-100%=85%. Так как

М„ = =-ML =5.103 /сГ.сж.

Р = М = 8 сл<2.

Д7 2Л6 J6 3 б^бЗ*

то по формуле (170)

с = + .3 = 1175/сГ/сж2. Без учета изгиба от продольной силы

° х = -f + = 100 + . 3 = 1038 кГ/см\ что от о„з, составляет 100% = 88%.

1175

Коэффициент запаса прочности п (по отношению к пределу текучести), с которым работает балка, определяется из формулы (171)

шах|о| HL++HL . fn

\ ~ Рэ)

шах cl = 14+i + .

\n\P\n]f

= 0,. (171. a)

Принимаем коэффициент запаса прочности InJ при расчете по методу допускаемых нагрузок соответствующим тому, который установлен для допускаемого напряжения по отношению к пределу текучести, т. е.

[п] = п„

где

Тогда из формулы (171, а) получим следующую видоизмененную расчетную формулу;

Р + W +

(171. б)

с несколько большей погрешностью формулы (168-171) можно применять и для несимметричной поперечной нагрузки, если ее асимметрия не очень близка к случаю косой симметрии.

Аналогичным образом ведется расчет на продольно-поперечный изгиб для иных видов опорных креплений стержней, однако уравнение (168) должно быть в каждом частном случае видоизменено. Так, например, для балки, защемленной одним концом (рис. 151, б), упругую линию приближенно описывают функцией

/=/ma.(l-COsf).

Тем не менее расчетные формулы (169-171) остаются в силе, если не считать того, что значение Эйлеровой силы меняется в зависимости от вида опорных креплений стержня согласно формуле (163).

Если поперечная нагрузка действует в плоскости наибольшей жесткости стержня, то его надо еще проверять и на устойчивость в плоскости наименьшей жесткости.

Пример 83. Дано: Р=800 кГ; Р,= ЮО кГ; 1=2 м; Ь=2 см; /г=4 см; £=2-10 кГ/см; =2400 кГ/см (рис. 152).

Определить /, c ax, п, Пу


р

		г

Задачи 752-753. Определить /, max jol, коэффициенты запаса прочности п и запаса устойчивости Пу, с которыми работают балки

fm-3.s

Задачи 754 - 755. Подобрать поперечные размеры сечения балок.

XI. ПЛОСКИЕ КРИВЫЕ БРУСЬЯ

§ 1. Продольное усилие, поперечная сила и изгибающий момент

Кривым брусом называется стержень, геометрическая ось которого криволинейна.

Рассматриваться будут кривые брусья, у которых: 1) геометрическая ось - плоская кривая; 2) плоскость кривизны - плоскость симметрии; 3) действующие силы лежат в плоскости кривизны; 4) материал подчиняется закону Гука; 5) жесткость достаточно большая, чтобы применять принцип независимости действия сил

Внутренние усилия в поперечном сеченнн кривого бруса определяются методом сечений. Они приводятся к продольному усилию N, к поперечной силе Q и к изгибающему моменту М.

Принято считать положительными: растягивающее усилие N, поперечную силу Q, направление которой совпадает с направлением растягивающего усилия N, повернутого на 90° по часовой стрелке, изгибающий момент М, увеличивающий кривизну бруса (рис. 153).

На эпюрах положительные значения Л', Q в М условимся откладывать перпендикулярно геометрической оси бруса в сторону от центра его кривизны, а отрицательные значения - к центру его кривизны Для брусьев, состоящих из криволинейных и прямолинейных участков, положительные н отрицательные эпюры на

или

n 800 j n 15 10° 3 800 3 - n 0.781 24OO

/ n.800 - 3 N

n -35,9/1 + 61,6 (1 -0.15,1)

= 0.

Решение этого уравнения дает два значения п: п,= 1,85 и 2=34,05.

Значение 2=34,05 не может быть решением задачи, так как уже прн и=6,67 (Рцц =п Р=5320 кГ) max jc] =00, так как бином

1-=(1-0,15) обращается в нуль

Проверяем балку на устойчивость в плоскости наименьшей жесткости. Поскольку

16 12 ТО по формуле (164)

10 2 10 3 4 10

= 167 кПсм\

только от силы Р напряжение сжатия о= -g-= ХООкГ/смг- Коэффициент запаса устойчивости балок

1,67.

Задачи 749-751. Определить наибольший прогиб / и наибольшее сжимающее напряжение max [а^! для балок

[=1[1пГ/см

а = Юсм

От составляющей (рнс. 156, е):

N = qx sin а sin Р; Q = -qx sin а cos Р; Л1 = 9 sin о.

/1 -

qxcDScc

ОЩгдд-------

Рис. 155

Рис. 156

Результирующие усилия от нагрузки q:

N = qx (cos а cos р + sin а sin Р) = cos (a - p); Q = qx (cos a sin p - sin a cos ) = -qx sin (a - P);

4. Равномерно распределенная по геометрической оси бруса поперечная нагрузка (рис. 157, а).

От действия проекции отсеченной нагрузки на ось у {рнс. 157, б, е):

A = 9xsinP; Q = -9XC0sP; M=q~.

От яействия проекции отсеченной нагрузки на ось х (рис. 157, а): Л^ = -WcosP; Q = - qysm; M q.

прямолинейных участках лучше располагать в те же стороны от геометрической оси, что и на криволинейных участках.

Вне зависимости от формы кривого бруса величины N, Q к. М в поперечном сечении, определяющемся координатами х, у к. углом

p=arctg (]. устанавливаются одним и тем же методом.

Рис. 153 Рис. 154

Рассмотрим случаи, когда по одну сторону от сечения приложены различные нагрузки.

1. Сосредоточенная пара сил (рис. 154):

N=0; Q=0; М=Мо.

2. Сосредоточенная сила (рис. 155, а). Составляющие силы Р по осям х и у (рис. 155, б) равны:

Р^ = Р cos а; Ру = Р sin а.

От составляющей Р^. (рис. 155, е):

Л^= Pcosa cos Р; = Р cos а sin Р; Л!== -Р cos а.

От составляющей Ру (рис. 155, г):

Л' = Р sin а sin Р; Q = - Р sina cosP; Ж =Р л: sin а.

Результирующие усилия от силы Р:

N = Р (cos а cos р + sin asin Р) = Рcos (а - Р);

Q = Р (cos а sin р - sin а COS Р) == - Р sin (а - Р);

М= Р (а: sin а - f/cosa).

3. Равномерно распределенная по прямой АВ и нормальная к ней нагрузка (рис. 156, а).

Составляющие нагрузки q по осям х и у (аналогично предыдущему случаю):

(3j.= 9COSa; 9y=9Sina.

От составляющей (рис. 156, б): Л'=9л; cosa cosp; Q=9X cosa sin P; M= - q xy cos at.

Элементарная сила в сечении с координатами x,yi, действующая на элемент ds дуги геометрической оси бруса (рис. 158, б)

dP=qds

Проекции силы dP на оси х и у: dPx=dP sina =qds sin a; dPy==dP cos a=qds cos a.

Элементарные усилия от силы rfP в сечении с координатами X, у и углом р (рис. 158, б):

diV =-dPcosP=-inacosSrfs;rfQ=-dPsinP =-<7 sina sinp rfs.

dM=dP/y - yi)=q(y - yt) sina ds. Элементарные усилия от силы dP в том же сечении (рис. 158, в): dN =dPy<m =q cosa sinp ds; dQ =~dPy cosp =~q cosa cosp ds; dM =dPy(x - x,)=q(x - Xi) cosa ds.

Элементарные усилия от совместного действия сил dP и dP, в рассматриваемом сечении:

dA=-9(sina cos 8 - cos ж sin p)ds=-</ sin (a - p)ds;

dQ=-9(sina sinp + cosacos p)ds=-9 cos (a - p)ds;

dM = ql{y - y,) sina +(x - Xf) cos a] ds. . Полные усилия в рассматриваемом сечении, отсекающем дугу S геометрической оси бруса:

= - 9 sin (а - Р) J ds = - 9s sin (а - p);

Q = - <7 COS (a - p) J ds = - qs cos (a - P);

sina y I ds- I {/jds + cosa x J ds-

- J Xjds j =9 [sin a (i/s - S) + cos a (xs - S)] = = qs l(y - Ус) sin a + (x- Xj cos a].

/Где

= J fids и Sj, = J x,ds - статические моменты дуги s относительно осей X к У; S S

Ус - -J- и х^ = ---координаты центра тяжести дуги s

6. Равномерно распределенная по геометрической оси бруса и касательная к ней нагрузка (рис. 159. а).

От совместного действия и q.

A=9(xsinP -i/cosP); Q= -9(xcosp +t/sinP); iM=--(x +

5. Равномерно распределенная по геометрической оси бруса параллельная нагрузка (рис 158, с)

Рис. 159



		-I-
		-1 *




	>
		Г

Рис. 158

1 ... 24 25 26 [ 27 ] 28 29 30 ... 48