Главная страница сайта  Российские промышленные издания (узловые агрегаты) 

1 ... 18 19 20 [ 21 ] 22 23 24 ... 48

Пример 64. Дано: q = 200 кГ/м, Р„ = 24 Т, Pj = 16 Т, Рг = 400 кГ, Ь = \2см, h= 16 см, I 2м (рис. 119).

Определить а„, , о„ п и положение нейтральной оси.

Решение. В опасном закрепленном сечении бруса:

Л' = Р„ Р, =-24.103- 16.103= -40-103 кГ;

/My = Pi4-+ P-Y= 6-10 6-1-+ 4-102-102 = 136-103 кГ-см;

-Р,-= -16-10-8-

2.4-Ш

- 168-103 кГ-см

Знаки напряжений в точках опасного сечеиия бруса от N, My и указаны на рис. 119, а. Поэтому

±

168-10

12-16

у 136-108 16-12

12-16

6 ±

475 - 891

кГ/см\

В формуле (143) принято, что > > О, а or Mj, и /И, в первом квадранте сечения о>0. В рассматриваемой задаче

Л' < О, Му>0, М,<0, а 4 = = 12 см <21,3 см\

и = - 12

Поэтому отрезки, отсекаемые нейтральной осью пп на осях гиг/, будут:

40-10 , с„ 0 =--ЖГ = ТЗбЛоУ-12 - 3,53 см.

t/o = -

40-ЩД 168-103

. 21,3 - 5,07 см.

§ 2. Растяжение или сжатие и изгиб

В общем случае одновременной деформации растяжения или сжатия и изгиба в произвольном поперечном сечении призматического стержня внутренние усилия приводятся к продольному усилию Nj направленному по геометрической оси стержня X, к изгибающим моментам Му и в главных центральных плоскостях инерции стержня лгг и дгг/ и к поперечным силам Qy и Q, направленным по осям у к г (рис. 118).

Нормальные напряжения в поперечном сечении стержня определяются следующим уравнением плоскости, не проходящей через начало координат:

(142)

где F - площадь поперечного сечения;

1у и - его главные центральные моменты инерции; ty и - его главные радиусы инерции; г/ и г - координаты точки плоскости сечения. Уравнение нейтральной оси имеет вид:

1Щ

= 0.

(143)

Нормальные напряжения приобретают наибольшее и наименьшее значения в точках касания контура сечения прямых, параллельных нейтральной осн.

Результирующие касательные напряжения приближенно можно определить путем геометрического сложения касательных напряжений в данной точке сечения от Qy и Q.

Как правило, эти напряжения невелики и не имеют существенного значения в практических расчетах.

Подбор поперечного сечения стержня производится по нормальным напряжениям пробами с последующей проверкой. Первую пробу можно брать из расчета только на плоский изгиб по тому составляющему изгибающему моменту, который требует больших размеров. Взятая проба должна проверяться с учетом второго составляющего изгибающего момента и продольного усилия. В подобранном сечении перенапряжение ие должно превосходить 5%.

что это не оказывает влияния на расчет. В самом деле, для произвольного поперечного сечения:

1 /gto

- cos аcos

a) + lisina.

Так как

-1 = cos а cos а - S,n а = 0. ТО опасное сечение отстоит от левой опоры на расстоянии:

* 2 F

232-10-

21/3 30,6-10- 13

= 3,420 м.

т. е. на 4,4 см от середины балки

В этом сечении (при х = 3,420 см) для выбранной балки

-С

232 - 10-

6000-6. з 24о 3.420== Щ +

+ 3o°6-lO-°2 = = МН1М\

Т. е. на 0,05% больше, чем в среднем сечении.

Пример 66. Дано. = 4 7 (расположена в плоскости ху), Рг = 1 Г, Рз = 0,8 Т, М = 2 Т-м, I = 2 м, а. = 15°, р = 30°, 1о] = 1600 кГ/см (рис. 121).

Рис 121

Определить номер швеллера, г/о, Zq. Решение. В опасном сечении (в заделке): = Picosa -Ь Pscosp = 4.0,966 -\- 0,8-0,866 4,557

My = -Рз sinp = -0,8-0,5.100 = -40 Т-см;

= Р,/ sin а -h Рг/ + М = = 4-200-0,259 -Ь 1-200 -Ь 200 = 607,2 Т-см

На рис. 119, а через концы этих отрезков проведена нейтральная ось пп и построена эпюра нормальных напряжений.

Пример 65. Дано: q = & кн/м, L = 6 м, а = 30°, [а] = 140 Мн/м^ (рис. 120).

Определить номер двутавра.

Решение. Проекции нагрузки q на оси х п у (рис. 120, о):

q = qsina; q = цсоза.

Составляющая q равномерно распределена по длине I в левую сторону и создает сжатие балки. Составляющая qy создает плоский поперечный изгиб балки.

Максимальный изгибающий момент в среднем сечении балки равен:

Рис. 120

8 cos о

Первую пробу для подбора сечения берем по этому моменту. Тогда

U7, = -

Ы

8(3] cos о

6000 36 8.14.10.0,866

=2,23-10- ж==223сж

По сортаменту ближайший больший момент сопротивления имеет двутавр № 22. Для него = 232 см, F = 30,6 см.

В сечешщ, где действует M, ax. продольное сжимающее усилие имеет величину:

Проверяем нодобранное сечение с учетом продольного усилия:

6000 6

x 6000-36

2-30

.б-10-V -232-10--0.866 -

= 137,8 10 н/м^ = 137.8 Мн1м\ Недонапряжение сосгавляет:

- 100 =

100= 1.6%.

В действительности сечение с максимальным напряжением лежит несколько левее среднего сечения балки, но настолько близко.

По формуле (143) отрезки, отсекаемые нейтральной осью на осях у п Z, получаются следующими:

4,557 .... 4,557

607,2

9С,8 = - 0,73 см; = - 14,8 = 1,69 см.

На рис. 121, а через концы этих отрезков проведена нейтральная ось пп и построена эпюра нормальных напряжений.

Внецентренна я нагрузка. В общем случае вне-центренного нагружения призматический стержень испытывает одновременную деформацию растяжения или сжатия и чистого косого изгиба.

Внутренние усилия в каждом поперечном сечении стержня приводятся к осевому продольному усилию Л/= Р н двум изгибающим моментам = Pz н = Рур, возникающим в главных центральных плоскостях инерции xz и ху стержня. Здесь Р - действующие растягивающие (сжимающие) силы, приложенные не в центре тяжести концевых сечений стержня, а в Ytfr

1/7 ff

точках с координатами у. и г. (рис. 122).

Нормальные напряжения в поперечном сеченни стержня определяются следуюиу1м уравнением плоскости, не проходящей через начало координат:

(144)

где F - площадь поперечного сечения;

/у и - его главные центральные моменты инерции; (j, и - его главные радиусы инерции; у к г - координаты произвольной точки плоскости сечения. Уравнение нейтральной оси пп запишем в виде:

= о или

= 1,

(145)

Первую пробу для размеров сечения берем из расчета на плоский изгиб от момента

По сортаменту ближайший больший момент сопротивления имеет швеллер № 22, для которого = 192 сж Для двух швеллеров = 384 см

Принимая во внимание, что кроме в балке возникают еще большой по величине к продольное усилие Л^., для проверки берем швеллер № 24, для которого Wi = 242 сж;

= 2 242 = 484 см\ F = 2F = 2 30,6 = 61.2 cж^

= 2/; = 2 387.2 = 774.4 см\ = = = 86.0 сж.

Проверяем прочность швеллеров № 24 в наиболее напряженной точке а заделанного сечения:

Hi-.-! г 4557 40 Ш 607,2-Ю-- Omas- р ,(7 -i- 117 - 61,2 + 86,0 + 484 ~

= 1794 кГ1см\ Так как перенапряжение равно:

?SM. 100 = =12.10/0,

то швеллера № 24 не подходят

В качестве второй пробы берем швеллер № 24а. Для этого швеллера

U7; = 265 сж , = 2 . 265 = 530 см\ F = 2- 32,9 = 65,8 сж . 1у = 2ll = 2 488,5 = 977 см и Г^, = 102,8 смК

Проверяем сечение из этих швеллеров:

4557 , 40-10 , 607,2-10= , ,

ошах = -бйХ + -ТогТв- +-530- 04 кПсм

Перенапряжение составляет -j= 0,25%, что соответствует допустимым нормам. Остановимся на швеллерах № 24а.

Переходим к определению положения нейтральной оси в опасном сеченин

Для швеллера № 24а: 1 = 9,84 см, 4 96,8 см\ j2 = А. = 14,8 см\

у F 65,8

Если точка приложения силы лежит на одной из главных центральных осей инерции сечения, то стержень испытывает одновременную деформацию осевого растяжения или сжатия и чистого плоского изгиба. Все вышеуказанные формулы остаются справедливыми, но в них надо положить либо Zp = О (если точка приложения силы лежит на оси у), либо уо = О (если точка приложения силы лежит на оси г).

Для обеспечения прочности стержней нз хрупкого материала с низким сопротивлением разрыву нужно, чтобы внецентренная ежи-

ттт

Oman

Рис 124

маюшая сила не создавала в поперечном сечении растягивающих напряжений

Часть плоскости поперечного сечения, окружающая центр тяжести и ограниченная замкнутым контуром, внутри которого приложенная сила создает напряжения одного знака во всех точках поперечного сечения, называется ядром сечения.

Контуром ядра сечения является геометрическое место точек приложения внецентренной силы, при котором нейтральные оси, касаясь контура поперечного сечения, нигде его не пересекают.

Пример 67. Дано: Р = 6,4 Т, b = 4 см, /г = 8 см, Ур = 2 см, г = \ см (рис. 124).

Определить а^ Решение.

Ощш. Уо, го В поперечном сечении возникают усилия Pz =- 6,4. 1 = - 6,4 Тем

N = -P = - 6,4 Т, = М = -Рур = -6,4.2 = - 12,8 Т-см.

Так как в 1 квадранте сечения от всех усилий напряжения сжимающие, то о, , будет в правом верхнем углу сечения, а о„ах в левом нижнем углу (рис. 124, о)

При этом

тах tmn

где

-3- (146)

е Ур

- отрезки, отсекаемые нейтральной осью на главных центральных осях инерции z к у поперечного сечения стержня

Для точек линии, параллельной нейтральной оси и проходящей

через центр тяжести сечения, нормальные напряжения а = ~.

Максимальные и минимальные нормальные напряжения возникают в точках касания к контуру сечения прямых, параллельных нейтральной оси.

Для симметричных сечений, имеющих точки, наиболее удаленные от обеих главных центральных осей инерции, максимальные напряжения возникают в этих точках

Поэтому для таких сечений

(147)

Если точка приложения силы перемещается по прямой рр, проходящей через центр тяжести сечения О, то нейтральная ось пп, не поворачиваясь, приближается к центру тяжести или удаляется от него в зависимости от того, удаляется от центра тяжести или приближается к нему точка приложения силы

На рис 122 показаны положения нейтральных осей (Wiii, Пгг и Пз з; По о - ушла в бесконечность) и соответствующие им эпюры о для случаев, когда растягивающая сила Р прикладывается в точках О, 1, 2 и 3 прямой рр

Если точка приложения силы перемещается по прямой рр (рис 123), не проходящей через центр тяжести сечения, то нейтральная ось вращается вокруг неподвижной точки К с координатами:

а

и 2 =--

Справедливо и обратное положение если нейтральная ось вращается вокруг неподвижной точки с координатами % и го, то точка приложения силы перемещается по прямой рр, не проходящей через центр тяжести сечения, уравнение которой имеет вид:

внецентренной силы (точки k и I контура ядра сечения) должны

лежать на оси у и определяться ординатами =

п

Если нейтральные оси касаются больших сторон прямоугольника ВС и DA, то соответствующие им точки приложения внецентренной Силы (точки тип контура ядра сечения) должны лежать на оси 2 и определяться абсциссами

Так как горизонтальные положения нейтральной оси переходят в вертикальные (и наоборот) путем вращения вокруг неподвижных точек, совпадающих с вершинами прямоугшьника, то при этих вращениях нейтральной оси точка приложения внецентренной силы должна .перемещаться по прямым линиям.

Соединяя точки k. I, т и п прямыми линиями, получаем ядро сечеиия (на рис. 125 ядро сечения заштриховано горизонтальными линиями).

и

Рве. 127

Рис. 128

Частные случаи: а) прямоугольное сечение со сторо-нами b и h (рис. 126). Для прямоугольного сечения: 11= jg-,

: z = q=

Поэтому = Т

б) двутавроюе сечение (двутавр №20а, рис. 127). Из сортамента для двутавра № 20а: = 8,37 см, ly = 2,32 см, /г = 20 сж, 6 = 11 см,

ь

Учитывая, что

F = bh = 4.8- 32 см\ г = = -.

у Ь о

№ 4 64 128

64 3

СМ и

находим

или

max = - m.n

6 3 - 3 6,4- 10 6,4- Ю'- 3 , 12,8- 10-3

о„, = 400 кПсм , о, , = - 800 кГ1см\

По формулам (146) определяем отрезки, отсекаемые нейтральной осью пп на главных центральных осях инерции сечения у м г:

Рис 125

Рис 126

2 =

		12-2	~ 3
		12- 1

- 2,67 сж.

Положение нейтральной оси и эпюра о изображены на рис 124, а, б.

Пример 68. Дано: произвольное сечение, симметричное относи тельно оси 2, вписывающееся в прямоугольник ABCD со сторонами 6<й (рис. 125), главные центральные радиусы инерции сечения ij,< j и положение центра тяжести сечения, определяющееся величиной 2о. Построить ядро сечения

Решение. Если нейтральные оси касаются малых сторон прямоугольника АВ и CD, то соответствующие им точки приложения

1 ... 18 19 20 [ 21 ] 22 23 24 ... 48