Главная страница сайта
Российские промышленные издания (узловые агрегаты)
1 ...
14 15 16 [
17 ]
18 19 20 ...
48 На рис. 97, г, д, е показано графическое построение упругой линии той же балки через истинный изгибающий момент и через переменное полюсное расстояние плана векторов. Принято
Я„=Я, и Н^ = Н,
§ 8. Статически неопределимые балки
Статически неопределимыми балками называются балки, для которых из условий статики нельзя определить все реактивные составляющие, возникающие в местах закрепления.
Степень статической неопределимости балки устанавливается по числу лишних неизвестных, которые нельзя определить из условий статики.
Методы раскрытия статической неопределимостм балок
Метод начальных параметров. Для заданной статически неопределимой балки составляются общие интегралы
дифференциальных уравнений упругой линии через начальные параметры Начальные па-Тч раметры и реактивные состав-
И ляющие определяются из усло-j/Wj ВИЙ закрепления балки и из условий статики
Пример 53. Дано: д, I, Е, I (рис 98)
Определить А, В, MB,fx>
Решение Так как на левой опоре /о = О, то в соответствии с уравнениями (П6) и (И7) функции прогиба и угла поворота запишутся следующим образом:
Eff, = Ef%x+A
/ 120
Рис. 98
По условиям закрепления балки = О и 6, = О, т. е.
EIU = £/е„/ + -1 = 0; е/е, = £/е„ + -- f
3 30 10 о ~ £/ \24 20 / = - 120£/
Таким образом,
Eff X i jt:.
- ~ 120 * 60 (120
120 20 г 24
Полагая 6 = О, из уравнения
находим X - -7=- 0,447/, при котором прогиб достигает макси-у 5
мального значения:
; f 2 9
/шах -/ - £/ .
Поперечная сила и изгибающий момент выражаются функциями:
10 12 10
г 6
Полагая М^==0, находим л:= -- 0,775/, при котором упругая линия имеет точку перегиба.
Полагая Qjr=0, находим ~ 0,447/, при котором изги-
бающий момент достигает максимального значения:
По этим данным построены эпюры Q и М и упругая линия балки. Задачи 492-495. Раскрыть статическую неопределимость балок.
Величины лишних неизвестных подбираются такими, чтобы суммарные перемещения, найденные в раскрепленных сечениях основной и вспомогательной балок, отвечали перемещениям в тех же сечениях заданной статически неопределимой балки.
Этот метод удобен в тех случаях, когда основная и вспомогательная балки могут быть приведены к табличным балкам, для которых известны значения нужных перемещений.
Полезно знать величины некоторых перемещений хотя бы ДАЯ простейших табличных балок (рис. 99).
Пример 54. Дано: М, I, Е, I (рис. 100).
Определить А, В, Мв, бл, f I. Построить эпюры М и Q.
Решение. Принимаем за лишнюю неизвестную реакцию А опоры балки Основной балкой / будет консоль, нагруженная заданной парой сил с моментом М.
Перемещение (прогиб) основной балки в раскрепленном сечении по табличной балке (рис. 99).
л, ~ 2Е1
Зпшра i в
Зшрам
Вспомогательная балка под нагрузкой неизвестной силы А в раскрепленно.м сечении получает прогиб (см. табличную балку 2 иа
J 11;
Рис. 100
99).
Так как на опоре А заданной балки прогиб /л = О, то из сравнения суммарных перемещений балок / и с перемещение.м заданной балки имеем
или
MP АР 2Е/ 3EI
А-
в задачах 492 и 493 построить эпюры поперечной силы Q и изгибающего момента М; в задаче 494 определить угол поворота сечения над опорой; в задаче 495 определить прогиб / сечения в.
ЦЗЗ
ттт
Метод сравнения перемещений. Рассматриваемую статически неопределимую балку раскрепляют до статически определимой, но геометрически неизменяемой, которую называют основной. Основную балку сначала нагружают только заданными силами и для нее в раскрепленных сечениях определяют перемещения, соответствующие отброшенным лишним неизвестным (силе - прогиб, моменту - угол поворота). Ту же раскрепленную балку (вспомогательную балку) нагружают затем только лишними неизвестными и для нее в раскрепленных сечениях опять определяют перемещения, соответствующие лишним неизвестным.
, т, -Ml!
га о зеу
- м
тпах I
г
без
% f6£J
Р1 PI
Рис. 99
За лишние неизвестные принимаем поперечную силу Qc и изгибающий момент Мс в этом сечении.
Условия сравнения перемещения балок lull приводим к следующей системе двух уравнений:
Ш
гид
Рис. 101
Из табличных балок 1) и 2) (см рис 99) для балки / имеем:
Мга
с,- El 2EI с,- 2£/ 3£/
Из табличных балок 1), 2) и 3) (см. рис. 99) для балки имеем: Мс2а
2£/
6£/
3£/
8£/
Подставляя эти значения в уравнения сравнения перемещений, получаем
-qa и
Поскольку в любом сечении заданной балки поперечная сила Q = А, то эпюра поперечной силы представляет собой прямоугольник с высотой Реакция в заделке В = -А.
Эпюру изгибающего момента легко построить наложением эпюр основной и вспомогательной балок. Для основной балки эпюра изгибающего момента - положительный прямоугольник с высотой М. Для вспомогательной балки эпюра изгибающего момента - отрицательный треугольник с нулевой высотой на левом конце и
высотой g-M на правом конце.
Накладывая эти эпюры друг на друга, получаем результирующую эпюру изгибающего момента для заданной балки. Реактивный момент в заделке:
Мв=-М + М==-.
Для определения перемещений балки используем графо-аналити-ческий метод. Фиктивная балка и фиктивная нагрузка представлены на рис. 100, а
Так как
Ml I Ml
/Ил,. =
1/2 12
?Фл,=2---Г-Л^ =--4
2 9 ] + 4 12 18 ~ 32
fi -- Ф^. Ш и f -ML
а- EI ~ AEI hn- El ~ Ш.1
Полезно обратить внимание на то обстоятельство, что фиктивная балка, будучи оперта только одним концом, должна находиться в равновесии под фиктивной нагрузкой, т. е. момент фиктивной нагрузки относительно левого конца фиктивной балки должен равняться нулю.
За лишние неизвестные можно принимать не только реактивные составляющие в местах закрепления заданной балки, но и внутренние усилия Q н Ж в том поперечном сечении, в котором ее расчленение приводит к балкам табличной формы
Пример 55. Дано: 17, а (рис. 101).
Определить Л, б, Ма , Мь-
Решение. Раскрепляем заданную дважды статически неопределимую балку путем расчленения на две балки (/ и ) в поперечном сечении С.
По закону Гука:
Подставляя /л, и Al в условие сравнения перемещений, получаем:
8£,/, 8£i/,
12 EiU
Частные случаи (рис. 103)
l)£,f,= -; N = -ql
2) EF = 0; Л' = 0.
Таким образом, в зависимости от жесткости упругой тяги уси-
лне N может изменяться в пределах 0<yV<~9/j, а изгибающий
момент Мв в заделке балки в пределах
На рис. 102 изображена эпюра изгибающего момента в балке при произвольно взятом значении Мв внутри указанного интервала его изменения.
Пример 57. Дано: прямоугольная рама со сторонами а и Ь, жесткостью сечения на изгиб EI, нагруженная равномерным, нормальным к стенкам внутренним давлением д (рис. 104).
Определить изменение расстояния 8 между средними сечениями Е-Е.
Решение. Расчленяем раму на балки сечениями в узлах. Так как рама симметрична, то достаточно paccMCff-
А | | -0-- Е |
| | | f Hiii: |
| | | |
| | | |
| | | |
| | rtimii | тип |
| | D С |
е
ч
о
Рис. 104
Реакция A = Q=-qa, реактивный момент
it/a
Реакция В = 217а - Q, = -11(?а. реактивный момент
до- ,
Метод сравнения перемещения может быть использован и при
расчете статически неопределимых
]4111ГШ1ДЩ
ТТТ
Зпкра м
балочно-стержневых систем (т. е. систем, состоящих из балок, и шарнирно связанных с ними упругих стержней) и рамных систем (т. е. стержневых систем с жесткими узлами, в которых углы между стержнями при деформации не изменяются).
При расчете ра.мных систем обычно не учитывают деформации растяжения или сжатия элементов.
Пример 56. Дано: равномерно нагруженная консоль АВ и для нее q, I, Ei, 11, упругая тяга AC и для нее 4, £2. 2 (рис 102). Определить продольное усилие Л' в тяге.
Решение. Расчленяем заданную балочно-стержневую систему в шарнирном узле А на балку АВ и упругую тягу АС. Балка нагружена равномерно распределенной нагрузкой интенсивности q и неизвестьюй силой N Тяга нагружена только силой Л'.
Используем условие сравнения перемаиений концов А балки и тяги, которое должно иметь вид /л,= Д'г-
Из табличных балок 2) и 3) (см. рис. 99)
I/
I л. I 8£j/, 3£,/,
в задачах 502,503 сечение балок кольцевое (D = 12 см, d =8 см);. в задачах 504, 505 сечение балок квадратное (10х 10 см).
Ш М м
м
X Т
шик
Задачи 506-509. Подобрать номера двутаврового поперечного, сечения.
Дано: Р = 2 Т, д = 2 Т/м, М = 3 Т м, I = 2 м,-[о] = 1600 кГ/смК
Р Я
м м
Ш ->м м-
г г г р
-1 --)
г г г
Задачи 510-513. Определить наибольший изгибающий момент
5т
5/3,
реть две балки АВ к ВС. Не учитывая растяжения стержней рамы, каждую балку можно опереть по концам, считать нагруженной распределенной нагрузкой интенсивности д и неизвестными моментами Мо в сечениях над опорами, обусловливающими собой жесткость узлов рамы.
Так как углы рамы должны оставаться прямыми, условие сравнения перемещений запишем следующим образом: 6, = 6,.
Из табличных балок 4) и 5) (см. рис. 99):
24£/ 2£/
и е„ =
2£/
24£/
По условию сравнения перемещений
откуда
Из этих же табличных балок расхождение середин сторон а будет:
Задачи 496-499. Раскрыть статическую неопределимость балок и построить эпюры М и Q.
- 0-1
Задачи 500-505. Раскрыть статическую неопределимость балок и определить величины допускаемых нагрузок.
Для всех балок принять длину равной 3 м; [а] = 1600 кГ/см. В задачах 500, 501 сечение балок круглое (d = 10 см);
1 ...
14 15 16 [
17 ]
18 19 20 ...
48
