Главная страница сайта  Российские промышленные издания (узловые агрегаты) 

[ 1 ] 2 3 4 ... 48

сопротивление материалов

Равнодействующая нормальных сил упругости в сечении называется продольным усилием. Продольное усилие определяется методом сечений. Величина продольного усилия Nj. в каком-нибудь поперечном сеченни стержня равна алгебраической сумме всех внешних продольных сил (сосредоточенных Р и распределенных по произвольному закону с интенсивностью Qj.), действующих на стержень по одну сторону от рассматриваемого сечения. Растягивающее усилие считается положительным, сжимающее - отрицательным.

Общая формула, по которой можно определить величину продольного усилия в произвольном поперечном сечении стержня, имеет следующий вид:

Л^;, = ЕР + eJ?. (1)

Интегрирование производится по длине каждого участка, на который действует распределенная сила, а суммирование - по всем участкам, расположенным по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Если вектор продольного усилия направлять в сторону от рассматриваемого сечения, то условия рав?!овесия отсеченной части стержня, т. е. формула (I), будет давать величину и соответствующий знак усилия.

Пример 1. Дано Р,= Р, f2= ЗР, Рз= 2Я; распределенная

р

нагрузка изменяется по линейному закону т д = О вр д =~ (рис. 1).

Построить эпюру N.

Решение. Проводя произвольное поперечное сечение на

каждом участке стержня, по формуле (1) имеем следующие значения продольных усилий:

N, = -P, = -P\ Л?г = -Л + 2 = -Р + ЗР = 2Р,

Зптро n

Рис. 1

л'а.о = л^з^ Р: N, = -p, + p,-

-Р; Л, = -Р, +р^

dx - P-P.

Эпюра N изображена иа рис. 1. Задачи 1-8. Построить эпюры продольного усилия N. В задачах 6, 7, 8 считать, что интенсивность распределенной нагрузки изменяется по линейному закону.

.ffffj

-Л

4г

-sicot

2>

§ 2. Нормальные напряжения, абсолютное удлинение и потенциальная энергия

Принимается, что во всех поперечных сечениях растянутых или сжатых стержней (приближенно и для стержней переменного сечения) нормальные напряжения о^ распределены равномерно.

Поэтому величина нормального напряжения в произвольном поперечном сечеиии стержня определяется отношением продольного усилия Nji в этом сечении к его площади f , т. е.

<.= - (2)

Считая материалы стержней подчиняющимися закону Гука,

величину абсолютного удлинения стержня можно определить по следующей общей формуле:

-=2J. (3)

где Е - модуль продольной упругости материала стержня.

Интегрирование производится по длине каждого участка, а суммирование - по всем участкам стержня.

Если на длине I стержня N кР постоянны, то Д/ = g.

Общая формула для определения количества потенциальной энергии упругой деформации U, накопленной в стержне при растяжении и сжатии, имеет вид

и

2EFj,

Зпюра бх 31,8

Интегрирование и суммирование здесь производится так же, как и при определении удлинения стержня.

Так как в пределах упругости материала можно считать количество потенциальной энергии равным работе внешних сил, то для стержней, растянутых или сжатых силами Р, приложенными по концам,

и = ~РМ.

Рис. 2

Пример 2. Дано: Р = 10 кн; / = 0,3 ж; d = 0,01 м; = = (0,01 + х^) ж; £ = 2-10= Мн/м^ (рис. 2).

Построить эпюру и определить Д/ и 0.

Решение. Продольное усилие в любом поперечном сеченин Nji = Р = 10 кн. Площади поперечных сечеиий: в цилиндрической части

= 0,25тс. 10-4 м^;

в переходных частях

(0,01 4- х') м\

цнальные энергии упругих деформаций U, накопленные в стержнях.

Считать £ = 2-10= Мн/м^. В задачах 11-14 принять Е - = 2Л(Г кГ/см\

-Л

Юли 20 кн

aj б) I Шин

1 ?.?f

It . Ч-0

§ 3. Поперечная деформация и изменение объема

Относительная продольная деформация е по закону Гука при

растяжении или сжатии равна

а относительная поперечная деформация

е'= -(Ае = -[X где 1 - коэффициент Пуассона материала

<6) (7)

Нормальные напряжения: в цилиндрической части

= = pg°,p , ,нли 1,273.10 н/м' = 127,3 Мн1м^; в переходных частях

Nj. 4Р 4-10

f~ 71(0,01- п(0,01 + *Т ~

о = 127.3 УИк/л.- с = (,+ 100.0.05 ). -

81,6 Mk/jh о , =31,8 Мн/м\

Эпюра изображена на рис. 2.

По формуле (3) абсолютное удлинение стержня

J ~W fif (0,01=

Pt 8P

3EF 7i£

2(0,01 + *=) 0,1i

+ arctg giy

1010=-0,3

3-2-10 -0,25ч:-10-< S-IO / 0,1 1 ,\

7..210 (2(0,01+о,и)о,:2 + 2-0,1= arctg ij;

a; ж 1,46.10- = 0,0146 CM.

По формуле (5) количество потенциальной энергии упругой деформации, заключенное в стержне,

РМ 10 .1,46-10-4 то 3 -7 ЙГ. г

и = -2- = -2-= 0,73 дж Я! 7,45 кГ-см.

Задачи 9-16. Построить эпюры нормальных напряжений о и определить абсолютные изменения длин стержней Д/ и потен-

Задачи 17-24. Определить величины, указанные в условиях

В задаче 24 принять для стали £ = 2 -10 кГ/см; у- = 0,3.

Л

ж

Е-2 ш'Ми/а

	Л		т			Л

£./4 ; av=?

Cm E.P

P = ?

полости

§ 4. Перемещения точек шариирно-стержиеаых систем

Определение упругих перемещений точек шарнирно-стержне-вой системы производится по следующей общей схеме.

Из условий статики находятся продольные усилия во всех упругих элементах системы По закону Гука устанавливаются величины абсолютных удлинений элементов.

Считая, что элементы системы при деформации не разъединяются, пользуясь методом засечек, составляются условия совместности перемещений, т. е. геометрические зависимости между перемеще-

Относительное изменение площади поперечного сечения стержня можно определить по формуле

Для определения абсолютного изменения объема стержня служит Выражение

AV-.

Интегрирование производится по длине каждого участка, суммирование - по всем участкам.

Если стержень растягивается или сжимается

YX<<<<W< силами Р, приложенными по концам, то

(10)

Пример 3. Дано: Р, q, I, F Е, ц (рис. 3).

Определить

Решение. По формулам (1) и (2) продольное усилие и нормальное напряжение в произвольном поперечном сечении будут:

-P + qx. с^ = р-= р

Так как относительное удлинение по закону Гука имеет значение Sjj=-=. то по формуле (8) относительное изменение

Е ~ EF,

площади поперечного сечения стержня равно

Пользуясь формулой (9), определяем абсолютное изменение объема стержня

Е

(l-2t>)

Е

ся из горизонтального перемещения точки D и удлинения 1-й тяги, т. е.

3 £, f, ~ 3 [ EF, Е, F, У

Вертикальное перемещение точки приложения силы Р

Задачи 25-40. Определить перемещения 6 точек приложения внешних сил Р (или других точек, указанных в условии) и нормальные напряжения в поперечных сечениях упругих стержней.

в задачах с буквенными условиями, в которых нет значений Е к F, считать их известными и одинаковыми для всех упругих элементов системы. В задачах 37-40 принять для всех стержней £ = 2-10= Мн/м^ В задачах 35 и 36 принять £ = г-Ю' кГ/сж.

Р = 3т Р

		1
а	- а -

ниями элементен, составляющих систему. Из полученных зависимостей определяется величина искомого перемещения.

При использовании метода засечек надо иметь в виду, что каждый элемент системы, кроме осевой деформации, может еще поворачиваться вокруг соответствующего шарнира. Поэтому каждая точка элемента может перемещаться вдоль оси элемента и по дуге окружности соответствующего радиуса. Эти дуги (засечки) допустимо заменять перпендикулярами к радиусам вращения, поскольку упругие удлинения элементов малы по сравнению с их длинами.

Рис. 4

Пример 4. Дано: Р, а, Ei, Fi, £2. F2 (рис. 4, а).

Определить горизонтальную н вертикальную 8j, проекции перемещения 8 точки приложения силы Р.

Решение. Расчленяем систему сечениями тяг / и на две системы (рис. 4, б).

Из условий статики Т,Ма = О и Т.Мв = О определяем усилия р 2

в тягах Л', = -5- нЛа = -о-Р

По закону Гука Д = -jpf- н Д = gp-

Пользуясь методом засечек (рис. 4, б), находим горизонтальное перемещение точки С, равное Д/г, и перемещение точки С, перпендикулярное линии вс: Ос = Д/а V-

Точка D может перемещаться только горизонтально. Это пере-

2а

мещение равно Ьо = Ъу~ Д/г

Горизонтальное перемещение точки приложения силы Р сложит-

[ 1 ] 2 3 4 ... 48